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Fonction dérivée et étude des variations d’une fonction

D02 – Cours

Notion de fonction dérivée

On définit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
On appelle fonction dérivée de f (notée {f'}) la fonction qui associe, à toute valeur x de I, le nombre dérivé de f en x.

De la même façon que l’on définit une fonction continue sur un intervalle I, on définit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour certaines fonctions, la fonction dérivée n’existe pas en certains points. L’intervalle I permet de les enlever.

Pour mémoire, un intervalle s’écrit sous la forme \left [ 2,4 \right ] ou \left ] 2,+\infty \right[ .

Fonctions dérivées des fonctions de référence

Si f(x)= alors {f'}(x)=
ax+b a
x^2 2x
x^3 3x^2
\frac{1}{x} \frac{-1}{x^2}
\sqrt{x} \frac{1}{2 \sqrt{x}}
x^{a} ax^{a-1}
Fonction dérivée et étude des variations d’une fonction

D01 – Approche par la tangente

Ouvrir Géogébra
Dans la zone de saisie, entrer f(x)=x^2
1.Quelle est la fonction saisie ?
C’est la fonction carrée.
2.Quelles sont ses caractéristiques graphiques ?
La fonction est symétrique par rapport à x=0. Elle est donc décroissante jusqu’à 0 puis croissante après 0.
Dans la zone de saisie, entrer les points (1,1) (2,4) (3,9) (-1,1) (-2,4) (-3,9)
3.Les points appartiennent-ils à la courbe ?
f(1)=1 f(2)=4 f(3)=9 et par symétrie f(-1)=1 f(-2)=4 f(-3)=9
En appuyant sur le 4ème bouton, choisir « Tangentes » pour connaître l’équation de la tangente d’une courbe en un point. Déterminer les équations des tangentes des différents points A,B,C puis D,E,F.
Procédure : Pour chaque point, il faut cliquer sur ce point et la courbe. Des équations de type affine y=ax+b vont apparaître dans la zone de saisie…Pour mémoire : a est le coefficient directeur d’une équation affine.
4.Compléter le tableau suivant :
Points A B C D E F
Coefficient directeur 2 4 6 -2 -4 -6
On note {f'(x)} le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative C au point d’abscisse x.
5.Compléter le tableau suivant :
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f‘(x) -6 -4 -2 0 2 4 6
6. A l’aide des résultats du tableau remplissez en conjecturant le tableau suivant :
x -3,5 -2,5 -2 0 2 4 8 25
f‘(x) -7 -5 -4 0 4 8 16 50
7. Plus généralement, pour tout nombre x, conjecturer la formule donnant {f'(x)} en fonction de x :

\Box \quad {f'(x)}=2+x \quad \Box \quad {f'(x)}=2x \quad \Box \quad {f'(x)}=x^2
La formule qui paraît logique au vue des résultats obtenus est : {f'(x)}=2x
La fonction x \mapsto 2x est la dérivée de la fonction f(x), notée {f'(x)}.


C’est à vous

Avec la même procédure, trouver la dérivée de la fonction f(x)=x^3.


\Box \quad {f'(x)}=2x \quad \Box \quad {f'(x)}=2x^2 \quad \Box \quad {f'(x)}=3x^2


Indice : Choisir les points d’abscisses -3,-2,-1,0,1,2,3 et trouver les ordonnées correspondantes f(-3),f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),f(3)
Exemple : f(-3)=(-3)^3=(-3) \times (-3) \times (-3)=-27

La fonction f(x)=x^3 a pour dérivée la fonction {f'(x)}=3x^2.
Notion de fonction

Not.Fonc.01

Croissance décroissance

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si f(x) augmente lorsque x augmente.
Si : x_1<x_2[/latex] alors : [latex]f(x_1)<f(x_2)[/latex] Une fonction [latex]f[/latex] est décroissante sur un intervalle I si [latex]f(x)[/latex] diminue lorsque [latex]x[/latex] augmente. Si : [latex]x_1<x_2[/latex] alors : [latex]f(x_1)>f(x_2)