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Suites géométriques

SG-10 – Salle de concert

Pour la location d’une salle de concert, la municipalité pratique un tarif dégressif suivant la durée de la prestation.
Elle demande 3570€ la première journée et facture chaque journée supplémentaire 15% de moins que la précédente.
Jerry est manager de groupes musicaux et souhaite louer la salle pour des festivals.


On fixe u_n la suite représentant le coût des journées.

1. Combien coûte la première journée.
u_1=3570
2. Combien coûte la seconde journée.
u_2=u_1 \times q
Une réduction de 15% correspond à un facteur multiplicateur de 100\%-15\%=85\%=\dfrac{85}{100}=0,85.
u_2=3570 \times 0,85=3034,50
La seconde journée coutera donc 3034,50€.
3. Combien coûte la troisième journée.
u_3=u_2 \times q
u_2=3034,50 \times 0,85=2579,325
La seconde journée coutera donc 2579,325€.
3. Déterminer la nature de la suite et sa raison.
Faire attention à ne pas arrondir les valeurs de u_2 et u_3.
\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{u_3}{u_2}=q
La suite u_n est une suite géométrique de raison q=0,85.
4. Déterminer u_n en fonction de n.
u_n=u_1 \times q^{n-1}
u_n=3570 \times 0,85^{n-1}
5. Déterminer le coût du 7ème jour de location de la salle de concert.
u_7=3570 \times 0,85^{7-1}
u_7=3570 \times 0,85^{6}
u_7=1346,42377078125






6. Combien de jours faut-il rester pour que la location de la salle coûte moins de 30€ .
Sur un tableur, on inscrit les indices et les prix dégressifs par jour et on s’aperçoit que le 31ème jour est en dessous de 30€.
u_31=3570 \times 0,85^{30}
u_31=27,24
7. Jerry veut organiser un premier concert en mars sur 4 jours. Combien va-t-il débourser pour ces 4 jours en arrondissant à l’unité.
S=u_1 \times \dfrac{0,85^{n}}{0,85-1}
S=3570 \times \dfrac{0,85^{4}}{0,85-1}
S=11376,2513
8. Jerry veut organiser un festival en juillet dans cette salle sur 7 jours. Combien va-t-il débourser pour ces 7 jours en arrondissant à l’unité.
S=u_1 \times \dfrac{0,85^{n}}{0,85-1}
S=3570 \times \dfrac{0,85^{7}}{0,85-1}
S=16170,2653
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SG09 – Acheter ou louer

Faty et Jacques, deux jeunes parents, cherchent à déménager pour avoir plus d’espace et se rapprocher du centre-ville. Une agence immobilière leur propose un logement dont le loyer mensuel est de 720 € avec une augmentation prévisionnelle, liée à l’indice ICC, estimée à 3 % par an.
L’agence les informe que la propriétaire serait également disposée à leur vendre le bien pour 190 000 € (frais d’agence inclus). Envisageant de rester une vingtaine d’années dans cet appartement, le couple se demande s’il ne serait pas préférable d’acheter plutôt que de louer.

Jacques et Faty souhaitent connaître le montant total des loyers qu’ils auront à verser en 20 ans de location.


1. Proposer une méthode et un outil de résolution de cette situation problème.
– Il faut déterminer le montant total des loyers sur 20 années et comparer cette somme avec le montant de la vente soit 190 000 €.
– Pour cela il faut déterminer le montant annuel des loyers qui sera le premier terme de la suite géométrique de raison q = 1,03 (augmentation de 3%).
– Ensuite il faut calculer la somme des 20 premiers termes de cette suite.
– On vérifie à l’aide d’un tableur ou de la calculatrice.


2. Mettre en œuvre votre méthode de résolution.

2.a. Identifier le premier terme et la raison de cette suite géométrique.
Premier terme de la suite : u_1=12 \times 720=8640
Annuellement, Jacques et Faty vont payer 8640€.
Une augmentation de 3% est égale à un facteur multiplicateur 100%+3%=103%=1,03.
Raison de la suite : q=1,03


2.b. Déterminer le prix des loyers de la deuxième année u_2.
u_2=u_1 \times 1.03=8899.2
Le prix du loyer sera la deuxième année de 8899,20€.


2.c. Ecrire u_n en fonction de n.
u_n=u_1 \times q^n-1
u_n=8640 \times 1,03^n-1








2.d. Déterminer u_10 en arrondissant au centième près.
u_n=u_1 \times q^n-1
u_10=8640 \times 1,03^10-1
u_10=8640 \times 1,03^9
u_10=11273,24


2.e. Déterminer la somme des 20 premiers termes de la suite.
Nombres de termes : 20
Premier terme : u_1=8640
Raison : q=1,03
Sommes des termes :
S=u_1 \times \frac{q^n-1}{q-1}=8640 \times \frac{1,03^{20}-1}{1,03-1}
S=232160,04


2.f. Vérifier le calcul de la somme à l’aide d’un tableur.


2.g. Conclure : quelle est la meilleure option : 20 ans de loyers ou l’achat ?
Le montant total des 20 années de loyer (232 160,04 €) est supérieur au prix de vente de l’appartement (190 000 €).
Faty et Jacques ont donc plutôt intérêt à acheter l’appartement.
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SG08 – Interrogation

Vocabulaire des suites géométriques
1. Quelles sont les 2 formules faisant apparaître u_n , u_0 ou u_1 et q pour une suite géométrique ?
\Box u_{n}=u_{1} \times q^n \Box u_{n}=u_{0} \times q^n
\Box u_{n}=u_{0} \times q^{n-1} \Box u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}
2. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une diminution de 7% ?
diminution :
1-t%=1-7%=1-0,07=0,93
3. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une augmentation de 4% ?
augmentation :
1+t%=1+4%=1+0,04=1,04
4. Quelles sont les 2 formules de la somme des n premiers termes avec u_0 et u_1 pour une suite géométrique ?
\Box S=u_0 \times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1} \Box S=u_1 \times \dfrac{q^{n-1}-1}{q-1}
\Box S=u_0 \times \dfrac{q^{n}-1}{q-1} \Box S=u_1 \times \dfrac{q^{n}-1}{q-1}
Calcul des termes d’une suite géométrique connaissant u_{0} ou u_{1} et q
(u_{n}) est une suite géométrique de raison q
5. On donne u_{0}=200 et q=1,1, calculer u_{3}.
u_{n}=u_{0} \times q^n
u_{n}=200 \times {1,1}^n
u_{3}=200 \times {1,1}^3
u_{3}=266,2










6. On donne u_{1}=800 et q=0,87, calculer u_{6}.
u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}
u_{n}=800 \times {0,87}^{n-1}
u_{6}=800 \times {0,87}^{6-1}
u_{6}=800 \times {0,87}^5
u_{6}=398,74
Calcul de la somme de n premiers termes d’une suite géométrique
7. On donne u_{0}=400 et q=1,78, calculer la somme des 7 premiers termes de la suite u_{n}.
S=u_0 \times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}
S=400 \times \dfrac{1,78^{7+1}-1}{1,78-1}
S=400 \times \dfrac{1,78^{8}-1}{1,78-1}
S=51167,52
8. On donne u_{1}=1000 et q=0,81, calculer la somme des 10 premiers termes de la suite u_{n}.
S=u_1 \times \dfrac{q^{n}-1}{q-1}
S=1000 \times \dfrac{0,81^{10}-1}{0,81-1}
S=4623,28
Premier problème sur les suites géométriques
9. Une entreprise prévoit une augmentation de production de 7% par an. En 2017, elle produit 1000 pièces. Calculer le nombre de pièces prévue en 2024 avec le vocabulaire des suites géométriques.
augmentation :
1+t%=1+7%=1+0,07=1,07=q
u_0=1000
La production va suivre les valeurs d’une suite géométrique de premier terme u_0=1000 et de raison q=1,07
Le rang 0 correspond à l’année 2017.
L’année 2024 correspond donc au rang 7. ( si vous prenez u_1=1000 alors le rang sera 8)
On nous demande ici le nombre de pièces prévues et non la somme des pièces vendues depuis le début…on applique alors :
u_{n}=u_{0} \times q^n
u_{n}=1000 \times {1,07}^n
u_{7}=1000 \times {1,07}^7
u_{7}=1000 \times {1,07}^7
u_{7}=1605,78
L’entreprise aura une production de 1605 pièces en 2024.
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SG07 – QCM : Somme des n premiers termes d’une suite géométrique

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QCM Calcul des n premiers termes d'une suite géométriques

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SG06 : Somme des n premiers termes d’une suite géométrique

Pour calculer la somme des n termes d’une suite arithmétique, il faut :

  • Déterminer le nombre de termes de la suite.
  • Connaître le premier terme u_0 ou u_1 et la raison.

Appliquer l’une des formules suivantes en fonction du premier terme u_0 :

S=u_0 \times\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}

ou u_1 :

S=u_1 \times\dfrac{q^{n}-1}{q-1}



Exercices d’application de la formule :

1.(u_n) une suite géométrique de premier terme u_0=2 et de raison q=3. Calculer la somme des 6 premiers termes.
On utilise ici la formule avec u_0 :


S=2 \times\dfrac{3^{6+1}-1}{3-1}=2 \times\dfrac{2187-1}{3-1}=2 \times 1093= 2186
2. (v_n) une suite géométrique de premier terme v_1=3 et de raison q=2. Calculer la somme des 5 premiers termes.
On utilise ici la formule avec u_1 ou plus précisément ici v_1 :


S=3 \times\dfrac{2^{5}-1}{2-1}=3 \times\dfrac{32-1}{2-1}=3 \times 31= 93
2. (w_n) une suite géométrique de premier terme w_1=128 et de raison q=\dfrac{1}{2}. Calculer la somme des 5 premiers termes.
On utilise ici la formule avec u_1 ou plus précisément ici w_1 :


S=128 \times\dfrac{(\dfrac{1}{2})^{5}-1}{\dfrac{1}{2}-1}


S=128 \times\dfrac{0,03125-1}{-0,5}=128 \times 1,9375= 248

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SG05 : Watt

Les ampoules de 40 W « classiques » étant remplacées par les ampoules LED, l’entreprise décide de diminuer sa production de 6% par mois à partir du mois de février 2017. La production prévue P_1 pour janvier 2017 est 10 000 ampoules.
1. Calculer la production P_2 pour février 2017.
Une diminution de 6% correspond à une multiplication de (1-t%) :
1-t%=1-6%=1-0,06=0,94
On multiplie donc par 0,94 la production de janvier pour connaître celle de février.
P_2=P_1 \times 0,94=10000 \times 0,94=9400
2. Calculer la production P_3 pour mars 2017.
On multiplie donc par 0,94 la production de février pour connaître celle de mars.
P_3=P_2 \times 0,94=9400 \times 0,94=8836
3. Vérifier que les productions P_1,P_2,P_3 sont les trois premiers termes d’une suite géométrique dont on déterminera la raison q.
On multiplie par 0,94 de terme en terme P_2=P_1 \times 0,94 et P_3=P_2 \times 0,94. C’est une suite géométrique de premier terme P_1=10000 et de raison q=0,94.
4. Déterminer P_n en fonction de n
On applique la formule u_n=u_1 \times q^{n-1} avec les données de la suite géométrique P_n.
P_n=P_1 \times q^{n-1}
enfin
P_n=10000 \times (0,94)^{n-1}
5. Calculer la production en décembre 2017.
Passage du mois au rang de la suite : Comme P_1 correspond au mois de janvier 2017, P_{12} correspond au mois de décembre 2017.
On applique la formule P_n=10000 \times (0,94)^{n-1} avec n=12.
P_{12}=10000 \times (0,94)^{12-1}
enfin
P_{12}=10000 \times (0,94)^{11}=4759
La production en décembre 2017 sera de 4759 ampoules.








6. L’entreprise stoppera sa production quand la production sera inférieure à 1500 ampoules. Donner la date de l’arrêt de la production.
On utilisera pour cela un tableur ou une calculatrice pour trouver le rang de la suite correspondant à une valeur de 1500 et on trouve rapidement le rang 30 correspondant juin 2019.

7. Calculer la production totale d’ampoules prévue pour l’année 2017. Arrondir à l’unité.
On applique ici la formule de la somme des 12 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme P_1=10000 et de raison q=0,94.
S=P_1 \times \dfrac{1-q^{n}}{1-q}
S=10000 \times \dfrac{1-(0,94)^{n}}{1-0,94}
enfin pour les 12 premiers mois qui forme l’année
S=10000 \times \dfrac{1-(0,94)^{12}}{1-0,94}=87246,61
La production pour l’année 2017 sera de 87 246 ampoules.
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SG04 – Problème et somme

Pour financer l’achat de cinq machines à commande numérique, l’entreprise Alpha-Usinage contracte un emprunt sur 10 ans. Chaque versement annuel augmente de 5 % par rapport au précédent. La première annuité est de 20 000 €. Le comptable de l’entreprise veut connaître le montant total du remboursement de cet emprunt.

Définition : Une annuité est une somme d’argent versée annuellement par un emprunteur pour rembourser une dette. Elle est constituée d’une partie du capital emprunté, ainsi que des intérêts dus. Elle peut être variable ou constante d’une année à l’autre.



A. Calcul des annuités

Soit u_1, u_2, …, u_{10} les montants des dix annuités.

1. Calculer le montant de la deuxième annuité u_2.
u_2=20 000+(20000 \times 5 \%)=20000+20000 \times 0,05
u_2=20000 \times 1,05
u_2=21000
2. Calculer le montant de la troisième annuité u_3.
u_3=21 000+(21000 \times 5 \%)=21000+21000 \times 0,05
u_3=21000 \times 1,05
u_3=22050
3. Calculer le montant de la quatrième annuité u_4.
u_4=22050+(22050 \times 5 \%)= 22050+22050 \times 0,05
u_4=22050 \times 1,05
u_4=23152,5
4. Calculer \dfrac{u_4}{u_3}, \dfrac{u_3}{u_2} et \dfrac{u_2}{u_1}
\dfrac{u_4}{u_3}=\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{u_2}{u_1}=1,05
5. Quelle est la nature de la suite (u_n) ? Justifier et précisant la raison de cette suite.
On multiplie chaque terme par 1,05 pour trouver la valeur du terme suivant. C’est donc une suite géométrique de raison q = 1,05.








6. Exprimer u_{n} en fonction de n.
u_{n}=u_1 \times q^{n-1}
u_{n}=20000 \times 1,05^{n-1}
7. Calculer u_{10}.
On remplace n par 10 dans l’équation trouvée plus haut :
u_{10}=20000 \times 1,05^{10-1}
u_{10}=20000 \times 1,05^{9}
u_{10}=31026,56
Dans 10 ans, l’annuité sera alors de 31026,56 €.



B. Montant total du remboursement

SG4

Sur une feuille de calcul d’un tableur, reproduire la tableau représenté ci-dessus. Pour cela, saisir :

1. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule C3 ?

C3=C2 \times 1.05
2. Compléter le tableau jusqu’à la dixième annuité.
3. Déterminer la somme à l’aide de la fonction «somme» du tableur des dix annuités.
On utilisera la fonction =somme() pour calculer la somme des 10 annuités. On trouve alors S=251557,85 en arrondissant au centième.
L’entreprise aura alors remboursée 251558 € de son emprunt au bout de 10 ans.
On verra juste après qu’une formule existe pour calculer n’importe quelle somme de n termes pour une suite géométrique.
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SG03 – Cours sur les suites géométriques

Définition

Une suite géométrique est une suite de nombres qui commence par un premier nombre, le premier terme, à laquelle on multiplie toujours le même nombre q appelée raison pour ne pas confondre avec r la raison arithmétique.

Exemple :

2,4,8,16,32 est une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 2 car on commence par 2 et on multiplie par 2 à chaque terme. 4 est le second terme,…



Notation

Pour les suites, on utilisera la notation u_n où u représente une suite (comme f représente une fonction) et n en indice est le rang de cette suite ou le classement de ce terme dans la suite.

Exemple :

u_2 représente le second terme, u_{15} le quinzième et u_n le n-ième.
On utilisera les notations suivantes :
Pour le terme précédent de le n-ième terme : u_{n-1}
Pour le terme suivant de le n-ième terme : u_{n+1}



Définition

Le terme u_n de rang n d’une suite géométrique peut être déterminé à l’aide du terme précèdent u_{n-1} et de la raison q :
u_n=u_{n-1} \times q

Définition

Le terme u_{n+1} de rang n+1 d’une suite géométrique peut être déterminé à l’aide du terme précédent u_n et de la raison q :
u_{n+1}=u_{n} \times q

Exemple :

Pour la suite 2,4,8,16,32 : u_1=2 , u_2=u_1 \times 2=4 , …



Définition :

Pour une suite géométrique de raison q, tout terme de rang n ou n-ième terme peut s’écrire de la forme :
u_{n}=u_{0} \times q^n
ou
u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}

Entraînement :
https://www.thatquiz.org/fr-2/?-j100h-l2-mpnv600-p0

Exemple :

Pour la suite 2,4,8,16,32 de raison q=2 et u_1=2 , u_2=u_1 \times 2^{2-1}=2 \times 2^{1}=4 , … , u_5=u_1 \times 2^{5-1}=2 \times 2^{4}=32





Exercices :

Soit la suite géométrique avec comme premier terme u_0=3 et q=2.
Calculer u_1 et fonction de u_2.
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_5.


Soit la suite géométrique avec comme premier terme u_1=2 et q=3.
Calculer u_2 et fonction de u_3.
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_5.


Soit la suite géométrique avec comme premier terme u_1=64 et q=\dfrac{1}{4}.
Calculer u_2 et fonction de u_3.
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_5.


Soit la suite géométrique avec u_3=9 et u_5=81.
En déduire q.
Calculer ensuite u_1
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_6.


Soit la suite géométrique avec u_4=16 et u_6=4.
En déduire q.
Calculer ensuite u_1
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_8.
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SG02 : Identification de suites

Identifier les suites suivantes et trouver leur nature (arithmétique ou géométrique), leur premier terme et leur raison.


1. Soient u_0=3, u_1=9 et u_2=27.
\dfrac{u_1}{u_0}=3
\dfrac{u_2}{u_1}=3
u_3=u_2 \times 3= 81
C’est une suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u_0=3.


2. Soient u_1=4, u_2=6 et u_3=8.
u_3-u_2=2
u_2-u_1=2
u_4=u_3+2=10
C’est une suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme u_1=4.


3. Soient u_1=4, u_2=6 et u_3=9.
\dfrac{u_2}{u_1}=1,5
\dfrac{u_3}{u_2}=1,5
u_4=u_3 \times 1,5= 13,5
C’est une suite géométrique de raison q=1,5 et de premier terme u_1=4.


4. Soient u_0=20, u_1=15 et u_2=10.
u_2-u_1=-5
u_1-u_0=-5
u_3=u_2-5=5
C’est une suite arithmétique de raison r=-5 et de premier terme u_0=20.


5. Soient u_1=128, u_2=64 et u_3=32.
\dfrac{u_2}{u_1}=0,5
\dfrac{u_3}{u_2}=0,5
u_4=u_3 \times 0,5= 16
C’est une suite géométrique de raison q=0,5 et de premier terme u_1=128.


6. Soient u_5=64, u_2=46.
u_5=u_2+3r
r=\dfrac{64-46}{3}=6
u_1=u_2-6=40
C’est une suite arithmétique de raison r=6 et de premier terme u_1=40 ou u_0=34.


7. Soient u_4=1250, u_2=50.
u_4=u_3 \times q=u_2 \times q^2
q=\sqrt{\dfrac{1250}{50}}=\sqrt{25}=5
u_1=\dfrac{u_2}{5}=10
C’est une suite géométrique de raison q=5 et de premier terme u_1=10 ou u_0=2.


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SG01 – Premier problème sur le calcul de termes d’une suite géométrique

Enoncé

On dépose un morceau de viande sur un comptoir l’été à 14h, la température avoisine les 35°C. Ce morceau de viande contient 100 bactéries, et dans ces conditions, le nombre de bactéries double toutes les 15 minutes. On note u_0 le nombre de bactéries à 14h00, u_1 le nombre de bactéries à 14h15, u_2 le nombre de bactéries à 14h30 et u_n le nombre de bactéries n quarts d’heure après 14h.


1. Quelle est la relation entre u_0 et u_1 ? puis entre u_{n} et u_{n+1} ?

u_1=u_0 \times 2
u_{n+1}=u_n \times 2
2. Préciser la nature de la suite (u_{n}) définie précédemment et sa raison.

On multiplie de terme en terme par 2. (u_n) une suite géométrique de premier terme u_0=100 et de raison 2.
3. Exprimer u_{n} en fonction de n.

u_{n}=u_0 \times q^n
u_{n}=100 \times 2^n
4. Calculer le nombre de bactéries à 17h00.

17h00 correspond à u_{12} et
u_{12}=100 \times 2^{12}
u_{12}=100 \times 2^{12}=409600
5. On estime qu’à partir de 150 000 bactéries présentes dans un aliment, celui-ci atteint un niveau impropre à la consommation pour l’être humain. Jusqu’à quelle heure, arrondie au quart d’heure, l’être humain peut-il consommer sans risque le morceau de viande ?

Il faut utiliser un tableur ou une calculatrice et vérifier à quel terme on dépasse 150 000 bactéries. Cette valeur est obtenue entre u_{10}=102400 et u_{11}=204800.
On prendra donc u_{10} qui correspond à 16h30. A 16h45, la viande sera impropre à la consommation.
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SG00 : Retour aux suites arithmétiques

Jouons aux allumettes
SG-0
1.Compter le nombre d’allumettes à ajouter à chaque construction pour obtenir un étage de plus.
– pour le premier étage : u_1
u_1=3
– pour le deuxième étage : u_2
u_2=7
– pour le troisième étage : u_3
u_3=11
– pour le quatrième étage : u_4
u_4=15
2.Montrer que u_1;u_2;u_3 et u_4 forment une suite arithmétique de raison r=4.
u_4-u_3=u_3-u_2=u_2-u_1=4
3.En déduire le nombre d’allumettes nécessaires à ajouter pour passer du quatrième au cinquième étage.
u_5=u_4+4=15+4=19
Il faut ajouter 19 allumettes pour passer du quatrième au cinquième étage.
Ecrire la formule qui permet le calcul direct de u_5 en fonction de u_1 et r.
u_5=u_1+4 \times r
Ecrire la relation entre u_n et n.
u_n=u_1+(n-1) \times r
u_n=3+(n-1) \times 4
u_n=4n-1
Combien d’allumettes au total pour couvrir les cinq étages.
Il faut utiliser la formule de la somme des premiers termes d’une suite arithmétique.
S=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}
S=\dfrac{5(u_1+u_5)}{2}
S=\dfrac{5(3+19)}{2}
S=55
La boîte d’allumettes contient 300 allumettes.Déterminer le nombre d’étages qu’Aline pourra construire.
S=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}
300=\dfrac{n(3+u_n)}{2}
300=\dfrac{n(3+4n-1)}{2}
300=\dfrac{n(4n+2)}{2}
300=n(2n+1)
300=2n^2+n
2n^2+n-300=0
Résolution d’une équation du second degré à une inconnue.

Suites géométriques

SG13 : Problème avec des suites

Augmentation
Un patron propose à ses employés deux modes d’augmentation de leur salaire mensuel.
Option A : une augmentation fixe du salaire mensuel de 50 € au premier janvier de chaque année.

Marie est embauchée dans l’entreprise avec un salaire de 1 500 € par mois. Elle choisit d’être augmentée suivant l’option A. On note M_n son salaire après n années passées dans l’entreprise. On a M_0 = 1500 .
a) Calculer M_1 et M_2 .
b) Exprimer M_{n+1} en fonction de M_n . En déduire la nature de la suite ( M_n ).
c) Exprimer M_n en fonction de n.
d) Calculer M_{20} .
e) A partir de combien d’années son salaire mensuel sera-t-il d’au moins 1 800 € ?

Option B : une augmentation de 3 % du salaire mensuel de l’année précé- dente au premier janvier de chaque année.

Jean est embauché la même année que Marie avec un salaire de 1 500 € par mois. Il choisit d’être augmenté suivant l’option B. On note J_n son salaire après n années passées dans l’entreprise. On a J_0 = 1500 .
a) Calculer J_1 et J_2 .
b) Exprimer J_{n+1} en fonction de J_n . En déduire la nature de la suite ( J_n ).
c) Exprimer J_n en fonction de n.
d) Calculer J_{20} . (Arrondir au centime près).
e) A l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien d’années son salaire mensuel sera d’au moins 1 800 € ?


A partir de combien d’années passées dans l’entreprise, le salaire mensuel de Jean sera-t-il supérieur à celui de Marie ?

Suites géométriques

SG2 – Correction de l’interrogation – Devoir B

Vocabulaire des suites géométriques

1. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour passer d’un terme à un autre pour une suite géométrique ?

\boxtimes multiplication \quad \Box addition \quad \Box division \quad \Box soustraction
La multiplication pour une suite géométrique

2. Quelle est la formule avec le terme de rang n et le terme suivant pour une suite géométrique ?

\boxtimes u_{n+1}=u_{n} \times q \quad \Box u_{n}=u_{n+1} \times r
\Box u_{n}=u_{n+1}+r \quad \Box u_{n}=u_{n+1} \times r
Pas de r pour une suite géométrique

3. Quelles sont les 2 formules faisant apparaître u_n , u_0 ou u_1 et q pour une suite géométrique ?

\Boxu_{n}=u_{0} \times q^{n-1}\quad \boxtimes u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}
\Boxu_{n}=u_{1} \times q^n \quad \boxtimes u_{n}=u_{0} \times q^n
N’oubliez pas que u_{1}=u_{0} \times q

4. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une diminution de 12% ?

\Box 1,12 \quad \boxtimes 0,88 \quad \Box 0,12 \quad \Box -0,12
Réduction ou diminution 1-t%=1-0,12=0,88

5. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une augmentation de 31% ?

\Box 0,69 \quad \boxtimes 1,31 \quad \Box 0,31 \quad \Box -0,31 \quad

Augmentation ou croissance 1+t%=1+0,31=1,31


Calcul des termes d’une suite géométrique connaissant u_{0} ou u_{1} et q
(u_{n}) est une suite géométrique de raison q

1. On donne u_{0}=2 et q=3, calculer u_{3}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=2 \times 3^n
u_{3}=2 \times 3^3=54

2. On donne u_{0}=5 et q=-2, calculer u_{5}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=5 \times (-2)^n
u_{5}=5 \times (-2)^5=-160

3. On donne u_{0}=-3 et q=4, calculer u_{4}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=(-3) \times 4^n
u_{4}=(-3) \times 4^4=324

4. On donne u_{1}=4 et q=-3, calculer u_{3}.

u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}=4 \times (-3)^{n-1}
u_{3}=4 \times (-3)^{3-1}=36

5. On donne u_{1}=5 et q=2/3, calculer u_{4}.

u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}=5 \times (2/3)^n
u_{4}=5 \times (2/3)^{4-1}=1,48
Suites géométriques

SG20 – Devoir A

Vocabulaire des suites géométriques

1. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour passer d’un terme à un autre pour une suite géométrique ?

\Box addition \quad \Box division \quad \Box soustraction \quad \boxtimes multiplication
La multiplication pour une suite géométrique

2. Quelle est la formule avec le terme de rang n et le terme suivant pour une suite géométrique ?

\Box u_{n+1}=u_n \times r \quad \Box u_{n}=u_{n+1} \times r
\Box u_{n}=u_{n+1}+r \quad \boxtimes u_{n+1}=u_{n} \times q
Pas de r pour une suite géométrique

3. Quelles sont les 2 formules faisant apparaître u_n , u_0 ou u_1 et q pour une suite géométrique ?

\Box u_{n}=u_{1} \times q^n \quad \boxtimes u_{n}=u_{0} \times q^n
\Boxu_{n}=u_{0} \times q^{n-1} \quad \boxtimes u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}
N’oubliez pas que u_{1}=u_{0} \times q

4. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une diminution de 11% ?

\Box 0,11 \quad \Box 1,11 \quad \boxtimes 0,89 \quad \Box -0,11 \quad
Réduction ou diminution 1-t%=1-0,11=0,89

5. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une augmentation de 13% ?

\Box 0,13 \quad \boxtimes 1,13 \quad \Box 0,87 \quad \Box -0,13 \quad

Augmentation ou croissance 1+t%=1+0,13=1,13


Calcul des termes d’une suite géométrique connaissant u_{0} ou u_{1} et q
(u_{n}) est une suite géométrique de raison q

1. On donne u_{0}=3 et q=2, calculer u_{3}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=3 \times 2^n
u_{3}=3 \times 2^3=24

2. On donne u_{0}=-2 et q=5, calculer u_{5}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=(-2) \times 5^n
u_{5}=(-2) \times 5^5=-6250

3. On donne u_{0}=4 et q=-3, calculer u_{4}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=4 \times (-3)^n
u_{4}=4 \times (-3)^4=324

4. On donne u_{1}=4 et q=-3, calculer u_{3}.

u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}=4 \times (-3)^{n-1}
u_{3}=4 \times (-3)^{3-1}=36

5. On donne u_{1}=5 et q=2/3, calculer u_{4}.

u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}=5 \times (2/3)^n
u_{4}=5 \times (2/3)^{4-1}=1,48
Suites géométriques

SG05 – Somme des termes : Application de la formule

Définition :

La somme des n premiers termes d’une suite géométrique peut être déterminé avec la formule suivante :


S=u_0 \times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}


ou


S=u_1 \times \dfrac{q^{n}-1}{q-1}


Attention une formule avec u_0 et une autre avec u_1 !!!

Pour appliquer la formule de calcul de somme de n termes d’une suite géométrique, il faut :

  • Déterminer le nombre de termes n de la suite.
  • Connaître le premier terme et la raison.
  • Appliquer la formule avec u_0 ou u_1

Exemple avec u_0 :

Calculer la somme de 5 premiers termes de la suite géométrique avec u_0=2 et q=3

Ici, n=5 et on applique la formule avec u_0.


Ainsi         S=u_0 \times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}


Ou             S=2 \times \dfrac{3^{5+1}-1}{3-1}


Enfin       S=2 \times \dfrac{729-1}{3-1}=2 \times \dfrac{728}{2}=728


On vérifie : S=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5
S=(2)+(6)+(18)+(54)+(162)+(486)=728

Exemple avec u_1 :

Calculer la somme de 3 premiers termes de la suite géométrique avec u_1=-2 et q=2

Ici, n=3 et on applique la formule avec u_1.


Ainsi         S=u_1 \times \dfrac{q^{n}-1}{q-1}


Ou             S=(-2) \times \dfrac{2^{3}-1}{2-1}


Enfin       S=(-2) \times \dfrac{8-1}{2-1}=(-2) \times \dfrac{7}{1}=-14


On vérifie : S=u_1+u_2+u_3=(-2)+(-4)+(-8)=-14

Exercices :

Calculer la somme de 10 premiers termes de la suite géométrique avec u_0=100 et q=2


Calculer la somme de 10 premiers termes de la suite géométrique avec u_1=20000 et q=1,05
Suites géométriques

SG9a – Etablir un tableau d’amortissement – Amortissement constant

Le directeur de l’entreprise Les transporteurs réunis envisage l’achat d’un nouveau véhicule destiné au transport des marchandises. Pour financer cet achat, l’entreprise va devoir contracter l’emprunt d’un capital de 50 000 € au taux de 3,8 % par an remboursable en cinq annuités.

Avant de prendre sa décision, il demande à son comptable d’établir un tableau récapitulatif des remboursements de cet emprunt.


A. Amortissement constant

Le comptable propose un remboursement avec un amortissement constant et doit compléter le tableau d’amortissement ci-dessous, où les montants sont en euros.

Echéances Capital dû avant l’échéance Amortissement Intérêts Annuités
1 50000
2
3
4
5
L’amortissement est la part de capital remboursé.
L’amortissement constant A d’un capital de valeur V_0 remboursé en n annuités est égal à : A=\dfrac{V_0}{n}
1. Calculer le montant de l’amortissement constant, puis compléter la troisième colonne.

A=\dfrac{V_0}{n}=\dfrac{50000}{5}=10000


Pour une échéance donnée, le capital restant dû est égal à la différence du capital dû l’année précédente et de l’amortissement.

2. Remplir la deuxième colonne avec le capital dû

C_1=50000
C_2=40000
C_3=30000
C_4=20000
C_5=10000


Les intérêts représentent 3,8 % du capital restant dû avant l’échéance.

3. Calculer l’intérêt pour chaque échéance, puis compléter la quatrième colonne du tableau.

i_1=50000 \times 0,038=1900
i_2=40000 \times 0,038=1520
i_3=30000 \times 0,038=1140
i_4=20000 \times 0,038=760
i_5=10000 \times 0,038=380


L’annuité est la somme de l’amortissement et de l’intérêt.


4. Calculer le montant de la première annuité, puis compléter la cinquième colonne.

première annuité = 10 000 + 1 900 = 11 900
5. Quelle est la nature de la suite formée par les différentes annuités. Préciser son premier terme et sa raison.

11900 – 11520 = 11520 – 11140 = 11140 – 10760 = 10760 – 10380 = 380
Il s’agit donc d’une suite arithmétique de premier terme 11 900 et de raison r = – 380
Suites géométriques

SG9b – Etablir un tableau d’amortissement – Annuités constantes

Le directeur de l’entreprise Les transporteurs réunis envisage l’achat d’un nouveau véhicule destiné au transport des marchandises. Pour financer cet achat, l’entreprise va devoir contracter l’emprunt d’un capital de 50 000 € au taux de 3,8 % par an remboursable en cinq annuités.

Avant de prendre sa décision, il demande à son comptable d’établir un tableau récapitulatif des remboursements de cet emprunt.


B. Annuités constantes

Le remboursement par amortissement constant ne convient pas au directeur de l’entreprise : il préfèrerait 5 annuités de même montant pour rembourser son emprunt de 50 000 € au taux de 3,8 %. Le comptable utilise un tableur pour réaliser le tableau d’amortissement comme représenté ci-dessous.

Echéances Capital restant dû Amortissement Intérêts Annuités
1 50000
2
3
4
5

Les fonctions financières du tableur permettent les calculs d’annuités et d’intérêts de remboursement d’emprunts.

La fonction financière =VPM(taux;npm;va)
du tableur permet le calcul de l’annuité pour un emprunt à taux constant (taux), connaissant le nombre d’annuités de remboursement (npm) et le capital emprunté (va).
1. Calculer l’annuité en saisissant dans la cellule E2 la formule : =VPM(3,8%;5;50000). Compléter la colonne Annuité du tableau sachant que le directeur souhaite une annuité constante.

Noter la valeur obtenue, sans tenir compte du signe négatif qui indique qu’il s’agit d’une somme due.

première annuité = 11 168,33 €
La fonction financière =INTPER(taux;per;npm;va) du tableur permet le calcul de l’intérêt pour une période donnée.
Les intérêts représentent 3,8 % du capital restant dû avant l’échéance.
2. Calculer l’intérêt de la première échéance en saisissant dans la cellule D2 la formule : =INTPER(3,8%;1;5;B2).

Noter la valeur obtenue, sans tenir compte du signe négatif qui indique qu’il s’agit d’une somme due.

premier intérêt = 1 900 €
3. Saisir dans la cellule C2 la formule =E2-D2 et noter la valeur obtenue :

On rappelle que l’amortissement est égal au montant de l’annuité moins l’intérêt.

premier amortissement = 9 268,33 €
4. Saisir dans la cellule B3 la formule =B2+C2 (attention la valeur de l’amortissement donnée par la tableur est négative) et noter la valeur obtenue :

Le capital restant dû à la deuxième échéance est égal au capital de l’échéance précédente moins l’amortissement.

capital restant dû = 40 731,67 €
5. Compléter la 2ème ligne du tableau d’amortissement en recopiant la cellule Intérêt, puis Amortissement, et enfin Capital restant dû à l’échéance 3.
6. Répéter ces opérations, ligne par ligne, pour compléter l’ensemble du tableau.
7. Effectuer la somme des différents amortissements.
50 000 €
8. Comparer la somme obtenue avec le montant du capital emprunté.
La somme des amortissements est égale au capital emprunté.
9. Quelle est la nature de la suite formée par les différents amortissements. Préciser son premier terme et sa raison.
9620,52 / 9268,33 = 9986,10 / 9620,52 = 10365,58 / 9986,10 = 10365,58 / 10365,58 = 1,038
Il s’agit donc d’une suite géométrique de premier terme 9 268,33 et de raison q = 1,038.