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Dans la zone de saisie, entrer f(x)=x^2
1.Quelle est la fonction saisie ?
C’est la fonction carrée.
2.Quelles sont ses caractéristiques graphiques ?
La fonction est symétrique par rapport à x=0. Elle est donc décroissante jusqu’à 0 puis croissante après 0.
Dans la zone de saisie, entrer les points (1,1) (2,4) (3,9) (-1,1) (-2,4) (-3,9)
3.Les points appartiennent-ils à la courbe ?
f(1)=1 f(2)=4 f(3)=9 et par symétrie f(-1)=1 f(-2)=4 f(-3)=9
En appuyant sur le 4ème bouton, choisir « Tangentes » pour connaître l’équation de la tangente d’une courbe en un point. Déterminer les équations des tangentes des différents points A,B,C puis D,E,F.
Procédure : Pour chaque point, il faut cliquer sur ce point et la courbe. Des équations de type affine y=ax+b vont apparaître dans la zone de saisie…Pour mémoire : a est le coefficient directeur d’une équation affine.
4.Compléter le tableau suivant :
| Points | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Coefficient directeur | 2 | 4 | 6 | -2 | -4 | -6 |
On note {f'(x)} le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative C au point d’abscisse x.
5.Compléter le tableau suivant :
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f‘(x) | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
6. A l’aide des résultats du tableau remplissez en conjecturant le tableau suivant :
| x | -3,5 | -2,5 | -2 | 0 | 2 | 4 | 8 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f‘(x) | -7 | -5 | -4 | 0 | 4 | 8 | 16 | 50 |
7. Plus généralement, pour tout nombre x, conjecturer la formule donnant {f'(x)} en fonction de x :
\Box \quad {f'(x)}=2+x \quad \Box \quad {f'(x)}=2x \quad \Box \quad {f'(x)}=x^2
La formule qui paraît logique au vue des résultats obtenus est : {f'(x)}=2x
La fonction x \mapsto 2x est la dérivée de la fonction f(x), notée {f'(x)}.
C’est à vous
Avec la même procédure, trouver la dérivée de la fonction f(x)=x^3.
\Box \quad {f'(x)}=2x \quad \Box \quad {f'(x)}=2x^2 \quad \Box \quad {f'(x)}=3x^2
Indice : Choisir les points d’abscisses -3,-2,-1,0,1,2,3 et trouver les ordonnées correspondantes f(-3),f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),f(3)
Exemple : f(-3)=(-3)^3=(-3) \times (-3) \times (-3)=-27
\Box \quad {f'(x)}=2x \quad \Box \quad {f'(x)}=2x^2 \quad \Box \quad {f'(x)}=3x^2
Indice : Choisir les points d’abscisses -3,-2,-1,0,1,2,3 et trouver les ordonnées correspondantes f(-3),f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),f(3)
Exemple : f(-3)=(-3)^3=(-3) \times (-3) \times (-3)=-27
La fonction f(x)=x^3 a pour dérivée la fonction {f'(x)}=3x^2.