Archives de catégorie : Suites arithmétiques

Suites arithmétiques

SA-07 : Activé 2 – Calcul de la somme des termes d’une suite arithmétique

L’entreprise LocaMat est spécialisée dans la location d’engins et de matériel de chantier. Stéphane souhaite louer une mini-pelle hydraulique. Il consulte donc le site internet de l’entreprise. Pour la location de la mini-pelle, l’entreprise pratique des tarifs dégressifs suivant la durée de location. Par souci d’économie, il se demande quelle formule choisir.

A. Location à la semaine

En naviguant dans la rubrique des différentes offres commerciales de LocaMat, Stéphane trouve d’abord la proposition ci-contre : le forfait Loca-semaine.
forfait loca-semaine
1. Soit u_1=70 le prix à payer pour une journée de location. A l’aide de la calculatrice, calculer u_2, u_3 et u_4.







2. Quelle est la nature de cette suite ? Préciser sa raison.







3. Ecrire u_n en fonction de n.







4. Calculer u_7.



Calcul de la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique
somme arith
5. En utilisant la méthode ci-dessus, déterminer la somme totale à payer pour une location de 7 jours.







B. Location au mois

Toujours sur le site de LocaMat, Stéphane consulte ensuite les tarifs réservés aux professionnels et découvre le forfait Loca-mensuel ci-après.
forfait loca-mois
On note v_1 le prix à payer pour une journée de location, v_2 celui de la deuxième journée, etc.
Soit v_1=87 le prix à payer pour une première journée de location.
1. Quelle est la nature de cette suite v_n ? Préciser sa raison.



2. Ecrire v_n en fonction de n.







3. Calculer le prix du 7ème jour et du 28ème jour.







4. Calculer la somme totale pour 7 jours de location puis pour 28 jours de location.







Suites arithmétiques

SA-06 : Exercice de recherche de la valeur de n

Exercice 05 : Comme des sardines

En 2008, l’entreprise « Fabriq » a produit 63200 boîtes de sardine.
Sa production a augmenté de 1300 boîtes de sardine chaque année.
1. Déterminer la production en 2009,en 2010 et en 2011.







2. Quelle est la nature de la suite de productions (u_n)? Justifier.







3. Déterminer son premier terme et sa raison.



4. Ecrire u_n en fonction de n.





5. Calculer la production en 2015.



6. L’entreprise a une capacité de production maximale annuelle de 84000 boîtes de sardine. En supposant que la production continue d’augmenter de 1300 unités par an, déterminer l’année où la production attendra son maximum.













Suites arithmétiques

SA-05 : Résolution par le calcul de n

Exercice 04 : Bibliothèque municipale

La nouvelle bibliothèque municipale, d’une capacité de 120 000 livres, va ouvrir ses portes le 1er janvier.
Elle dispose d’un stock de 42 000 ouvrages venant de l’ancienne bibliothèque et de 6 000 livres neufs offerts par la communauté de communes.
Les années suivantes, la bibliothèque achètera 4 000 ouvrages neufs par an.
On note u1 le nombre d’ouvrages le 1er janvier de cette année (jour de l’ouverture) et un le nombre d’ouvrages dans n-1 années.

Problématique : Dans combien d’années atteindrons-nous la capacité maximale de la bibliothèque ?

1. Calculer u_1, u_2, u_3 et u_4.







2. Justifiez que ces quatre nombres sont les quatre premiers termes d’une suite, dont vous préciserez la nature, le premier terme u_1 et la raison.







3. Complétez alors la relation suivante : u_4=u_1+4000 \times ..........







4. Ecrire u_n en fonction de n.







5. Calculez alors la nombre d’années qu’il faudra pour atteindre la capacité maximale de la bibliothèque.







6. Répondre à la problématique.







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SA-04 : Dernier exercice d’application

Exercice 03 : Du tissu au mètre linéaire

Au cours du mois de janvier, l’entreprise qui fabrique un tissu produit chaque jour la même longueur de tissu. On relève chaque soir la longueur totale produite depuis le début du mois.
Les longueurs totales produites forment une suite arithmétique notée u_n.

À la fin du 3-ième jour on atteint une longueur totale u_3 = 39 000 mètres linéaire.
À la fin du 5-ième jour on atteint une longueur totale u_5 = 65 000 mètres linéaire.

1. Calculer la raison r de cette suite.







2. Calculer le premier terme u_1 de cette suite.







3. Ecrire u_n en fonction de n.







4. Calculer la longueur totale au 31 janvier 2018.







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SA-03 : Deuxième exercice d’application

Exercice 02 : Transport routier

Une entreprise de transport possède 40 camions en décembre 2014. L’évolution de l’entreprise est telle que celle-ci doit acheter 8 camions supplémentaires chaque année.
1. Calculer le nombre de camions que possède l’entreprise en 2015, en 2016 et en 2017.







2. Ces nombres forment une suite. On note u_n le nombre de camions de l’entreprise avec n l’indice correspondant à l’année en cours, où n est un nombre entier naturel non nul.

a. Quelle est la nature de cette suite ?







b. Préciser le premier terme u_1 et la raison de cette suite.







b. Ecrire u_n en fonction de n.







c. Quel est le nombre de camions que possède l’entreprise en 2025 ?







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SA-02 : Premier exercice d’application

Exercice 01 : Maintenance d’appareil

Une entreprise effectue la maintenance d’appareillages électroniques. Pour une intervention sur site, elle facture 110 € la première heure et 60 € par heure supplémentair.
1. Quel est le coût d’une intervention sur site d’une durée de 2 heures ? D’une durée de 3 heures ? D’une durée de 4 heures ?







2. On note u_n le coût d’une intervention d’une durée de n heures, où n est un nombre entier naturel non nul.

a. Montrer que la suite u_n est arithmétique ; préciser sa raison et son terme initial.







b. Ecrire u_n en fonction de n.







c. Calculer u_8.







c. En déduire le coût d’une intervention sur site d’une durée de 8 heures.







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SA-01 : Activité 1 – Modélisation par les suites arithmétiques

Samuel est passionné par les véhicules anciens. Il a acheté en 2014 un modèle de voiture de 1956 pour 3 000 €.
En consultant l’argus dans des revues spécialisées, il apprend que la valeur de ce modèle augmente de 400 € par an.
Samuel se demande à quel prix il pourra revendre son véhicule dans quelques années.

A. Modélisation du prix du véhicule

1. Êtes-vous d’accord avec Samuel quand il dit que l’évolution du pris de sa voiture est une suite arithmétique ? Justifier.
Oui car il faut additionner toujours par le même nombre (400) pour passer d’un terme au suivant.
2. Quelle est la valeur du premier terme, noté u_1 ?
u_1=3000
3. Quelle est la valeur de la raison r de cette suite ?
r=400
4. Quel était le prix du véhicule en 2015 ?
2015 correspond à u_2
u_2=u_1+r=3000+400=3400
Le prix de la voiture en 2015 était de 3400€.
5. Quel était le prix du véhicule en 2017 ?
2017 correspond à u_4
u_4=u_1+r+r+r=3000+400+400+400=4200
Le prix de la voiture en 2017 était de 4200€.
6. Cocher la bonne réponse.
\Box \quad u_4=u_1+4r
\Box \quad u_4=u_1+3r
\Box \quad u_4=3u_1+r
u_4=u_1+3r
7. En déduite la relation générale entre u_n et n en utilisant u_1 et r ?
u_n=u_1+(n-1) \times r


8. Remplacer dans cette équation générale le u_1 et le r trouvés plus haut ?
u_n=3000+(n-1) \times 400
u_n=3000+400n-400
u_n=2600+400n

B. Prévision de la valeur du véhicule

9. Quel était le prix du véhicule en 2021 ?
2021 correspond à u_8
u_8=u_1+(8-1) \times 400=5800
u_8=3000+(8-1) \times 400=5800
ou
u_8=2600+400 \times 8=5800
Le prix de la voiture en 2021 sera de 5800€.
10. Quel était le prix du véhicule en 2034 ?
2034 correspond à u_21
u_21=2600+400 \times 21=11000
Le prix de la voiture en 2034 sera de 11000€.
Suites arithmétiques

SA-09 : Cours

Définition

Une suite arithmétique est une suite de nombres qui commence par un premier nombre, le premier terme, à laquelle on ajoute toujours le même nombre r appelée raison.

Exemple :

2,4,6,8,10 est une suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 2 car on commence par 2 et on ajoute 2 à chaque terme. 4 est le second terme,…

Notation

Pour les suites, on utilisera la notation u_n où u représente une suite (comme f représente une fonction) et n en indice est le rang de cette suite ou le classement de ce terme dans la suite.

Exemple :

u_2 représente le second terme, u_{15} le quinzième et u_n le n-ième.
On utilisera les notations suivantes :
Pour le terme précédent de le n-ième terme : u_{n-1}
Pour le terme suivant de le n-ième terme : u_{n+1}

Définition

Le terme u_n de rang n d’une suite arithmétique peut être déterminé à l’aide du terme précèdent u_{n-1} et de la raison r :
u_n=u_{n-1} + r

Définition

Le terme u_{n+1} de rang n+1 d’une suite arithmétique peut être déterminé́ à l’aide du terme précédent u_n et de la raison r :
u_{n+1}=u_{n} + r

Exemple :

Pour la suite 2,4,6,8,10 : u_1=2 , u_2=u_1 + 2=4 , …

Définition :

Pour une suite arithmétique de raison r, tout terme de rang n ou n-ième terme peut s’écrire de la forme :
u_{n}=u_{0}+ n \times r
ou
u_{n}=u_{1}+(n-1) \times r

Exemple :

Pour la suite 2,4,6,8,10 de raison r=2 et u_1=2 , u_2=u_1 + (2-1) \times 2=4 , … , u_5=u_1 + (5-1) \times 2 = 2 + 4 \times 2 =10

Définition :

La somme des termes d’une suite arithmétique est :
S=\dfrac{n \times (u_{1}+u_{n})}{2}