Archives de catégorie : Statistique à deux variables

Statistique à deux variables

Stats-09 : Corrigé de l’exercice 5 et 6

Exercice 5 :


1) La représentation du nuage de points se fait sur calculatrice ou tableur.


2) Les coordonnées du point moyen se calcul en utilisant la formule « moyenne » sous Excel ou en utilisant « 2-VAR » sur les calculatrices. En arrondissant au dixième, on trouve bien G(5,5;8,2).


3) Le point G est sur la droite d’ajustement.


4) L’équation est y=-0,06x+8,56 en utilisant « la courbe de tendance » sour Excel ou « REG » sur la calculatrice permettant de trouver a=-0,06x et b=8,56 arrondis au centième.


5) a) On estime la valeur en tirant sur la droite d’ajustement de façon approximative.


5) b) L’année 2008 correspond au rang 11 donc x=11 et y=-0,06 \times 11+8,56 soit y=7,9




Exercice 6 :


1) La représentation du nuage de points se fait sur calculatrice ou tableur.


2) Les coordonnées du point moyen se calcul en utilisant la formule « moyenne » sous Excel ou en utilisant « 2-VAR » sur les calculatrices. En arrondissant au dixième, on trouve bien G(6,5;15733).


3) a) On trace en utilisant « la courbe de tendance » sour Excel ou allant sur GRPH puis REG puis X et enfin DRAW sur la calculatrice.


3) b) L’équation est y=489x+12556 avec des arrondis à l’unité de a=488,81 et b=12556


4) a) On estime la valeur en tirant sur la droite d’ajustement de façon approximative.


4) b) Attention ici on donne la variable y=20 000 donc il faut résoudre un système d’équation à une inconnue.


20000=489x+12556

20000-12556=489x

489x=7444

x=\dfrac{7444}{489}

x=15,22

On vérifie le résultat si x=15 alors y=19891 et si x=16 alors y=20380.

On en conclut que le rang du mois où la consommation atteint les 20 000 photocopies est 16 qui correspond au mois d’avril 2010.

Plus compliqué mais faisable.

Statistique à deux variables

Stats-08 : Exercices

Depuis quelques années une entreprise a mis en place des
actions pour prévenir au mieux les risques professionnels.
Le tableau ci-dessous représente l’évolution du nombre annuel moyen d’accidents du travail ayant entraîné un arrêt de travail pour 1 000 salariés en équivalent temps plein.
L’entreprise se fixe comme objectif d’atteindre en 2018 un nombre annuel moyen d’accidents du travail inférieur à 50.
L’objectif de l’exercice est de prévoir si cet objectif sera atteint, en supposant que l’évolution constatée de 2005 à 2014 se poursuit jusqu’en 2018.

stats-09-01
1) En utilisant une calculatrice ou un tableur, déterminer une équation de la droite d’ajustement du nuage de points de coordonnées (xi , yi) représentant cette série statistique. Recopier cette équation en l’écrivant sous la forme y = ax + b où a et b sont des nombres qui seront arrondis au centième. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

2) On suppose que l’évolution constatée de 2005 à 2014 se poursuit jusqu’en 2018.

a) En utilisant l’équation de la droite d’ajustement trouvée, calculer le nombre annuel moyen d’accidents du travail prévisible en 2018. Arrondir le résultat au dixième. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

b) L’objectif de l’entreprise sera-t-il atteint ? Justifier la réponse. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

Statistique à deux variables

Stats-07 : Cours

STATISTIQUE À DEUX VARIABLES

I) Série statistique à deux variables

Une série statistique à deux variables est une série pour laquelle deux caractères mesurables sont relevés pour chaque individu.
Cette série est donnée par des couples de valeurs (x_i;y_i) .
Lorsque l’un des deux caractères est une mesure du temps, on parle alors de série chronologique.

II) Nuage de points

Une série statistique à deux variables se représente graphiquement, dans un repère orthogonal, par un nuage de points.

III) Point moyen

Le point moyen d’un nuage de points est le point G(x;y) avec x moyenne des abscisses des points du nuage et y moyenne des ordonnées des points du nuage.

IV) Ajustement affine

C’est l’ajustement qu’on adopte si le nuage de points a une forme « allongée ».
Lorsqu’on cherche l’équation y=ax+b de la droite qui passe au plus près de l’ensemble des points du nuage, on réalise un ajustement affine.

La droite d’ajustement passe par le point moyen G.

V) Utilisation

La droite d’ajustement permet d’estimer la valeur d’un caractère quand on connaît la valeur du deuxième caractère ou d’établir des prévisions.

TICE

I) Obtention de l’équation de la droite d’ajustement avec un tableur (EXCEL)

II) Obtention de l’équation de la droite d’ajustement avec une calculatrice

Statistique à deux variables

Stats-06 : Comment vont évoluer les ventes

Nolwenn s’est associée à un producteur spécialisé en agriculture biologique pour commercialiser sur internet des paniers de légumes bio. Ses ventes progressent régulièrement depuis que son entreprise a été créée, il y a 6 mois.
Nolwenn souhaite prévoir l’évolution de son entreprise. Pour cela, elle a présenté le bilan des 6 derniers mois dans le tableau ci-dessous.
Rang du mois 1 2 3 4 5 6
Nombres de paniers vendus 125 153 185 222 254 280
Afin de prévoir des embauches, Nolwenn voudrait savoir combien de paniers vendus elle pourrait avoir dans 6 mois pour la première année d’existence de son entreprise.
Statistique à deux variables

Stats-05 : Utilisation de la calculatrice

En regardant une série américaine sur une chaîne du câble, Loana remarque que les températures extérieures, mentionnées par les acteurs, ne correspondent pas du tout aux nôtres. Son ami Marc lui explique qu’aux États-Unis, la température s’exprime en degrés Fahrenheit alors qu’en France, on utilise les degrés Celsius. Pour illustrer son propos, grâce à un thermomètre indiquant les deux unités, il établit un tableau de correspondance présenté ci-dessous.

stats-05-01
Entrée des données

Ouvrir le module « Statistiques » avec Menu puis Stats
Dans la liste 1, entrer les valeurs en Celsius.
Dans la liste 2, entrer les valeurs en Fahrenheit.

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Affichage du nuage de points

Appuyer sur F1 « GRAPH » pour passer en mode graphique
Appuyer sur F6 « SET » pour paramétrer le graphique
Changer le type de graphique en « SCATTER » dans Graph Type
Vérifier que XList correspond à List1
Vérifier que YList correspond à List2
Appuyer sur « ENTREE »
Appuyer sur F1 « GPH1″
Le nuage de points apparaît :

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Recherche de la droite d’ajustement

Appuyer sur EXIT pour sortir du mode graphique
Appuyer sur F2 « CALC » pour passer au mode calculatoire
Appuyer sur F6 « SET » pour paramétrer les listes.
Vérifier que 2VAr XList correspond à List1
Vérifier que 2VAr YList correspond à List2
Vérifier que 2VAr Freq correspond à 1
Appuyer sur EXIT
Appuyer sur F3 « REG » pour déterminer la droite d’ajustement
Appuyer SUR F1 « X » pour choisir un ajustement affine
Les informations suivantes apparaissent :

stats-05-04

On peut en conclure que la droite d’ajustement a pour équation avec un arrondi de a au dixième puis de b à l’unité :

y=1,8x+32

Afficher la droite d’ajustement dans le nuage de points

Appuyer sur EXIT pour sortir
Appuyer sur F1 GPH1
Appuyer sur F1 CALC en mode calculatoire
Appuyer sur F2 X pour choisir un ajustement affine
Appuyer sur F6 DRAW pour tracer cette droite
La droite doit alors s’afficher sur le graphique :

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Exploitation de la droite d’ajustement

La température d’ébullition de l’eau, sous les conditions normales, est
de 100 °C.
En utilisant la droite d’ajustement, exprimer la température de cette eau bouillante en degrés Fahrenheit.
y=1,8x+32
y=1,8 \times 100 +32
y=212

La température de 212°F équivaut à 100°C.

Statistique à deux variables

Stats-04 : Exercices Covoiturage

Pour se rendre à son travail, Rachida utilise régulièrement le covoiturage, comme plusieurs de ses collègues. Sentant qu’il s’agit d’un secteur sur internet en pleine expansion, elle décide avec son ami Kenny de lancer leur propre site (avec application sur mobiles) basé sur la géolocalisation.


C’est en 2007 que sont apparus les premiers sites de covoiturage (78 sites). Depuis leur nombre ne cesse d’augmenter.
Le covoiturage permet de réduire les émissions polluantes par personne transportée.

Nb de sites créés depuis 5 ans
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Rachida peut-elle prévoir le nombre de sites de covoiturage dans 2 ans ?
Statistique à deux variables

Stats-03 : Utiliser un tableur pour connaître l’équation de la droite d’ajustement

Laureleen est responsable du club de hand-ball de sa commune. Elle s’intéresse à l’évolution en France du nombre de licenciés de son sport préféré.
Sur le site de la Fédération, elle a relevé le nombre de licenciés des 10 dernières années.
À partir de ces valeurs, elle voudrait prévoir quel sera le nombre de licenciés dans cinq ans.

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Ouvrir Microsoft Office 2007
Dans A1 doit se trouver « Rang »
Dans B1 doit se trouver « Licenciés »
Dans A2:A12 les valeurs des rangs
Dans B2:B12 les valeurs des licenciés
Sélectionner la plage des cellules (A2:B12)
Insérer un graphique en nuage de points en prenant la première option proposée
Faire un « clic droit » sur un point du nuage.
Sélectionner « Ajouter une courbe de tendance ».
La fenêtre ci-contre s’ouvre : Dans les options de courbe de tendance :
– choisir « Linéaire » ;
– cocher la case « Afficher l’équation sur le graphique ».

stats-04-02

Cliquer droit sur l’équation de la droite d’ajustement. Sélectionner « Format d’étiquette de la courbe de tendance ».
Dans la colonne de droite choisir « nombre » et définir « 0 » comme nombre de décimales comme le montre la fenêtre ci-contre.
Fermer la fenêtre.
Quelle est l’équation de la droite d’ajustement ?
y=16247x+207608
En utilisant l’équation de la droite de tendance, à combien Laureleen va-t-elle estimer le nombre de licenciés qui seront inscrits dans cinq ans (soit pour x = 15) ?
y = 16 247x + 207 608
y = 16 247 x 15 + 207 608
y = 451 313

Le nombre de licenciés dans cinq ans est estimé à 451313.

Dans la cellule A13, déterminer la moyenne des années et dans la cellule B13 déterminer la moyenne des licenciés. Utiliser la fonction « moyenne » du tableur.
Placer le point moyen G sur le graphique en rouge en modifiant la sélection des données :

Cliquer droit sur le graphique. Sélectionner « Sélectionner des données ».
Définir la nouvelle plage de données en remplaçant « $B$12 » par « $B$13 ».

Modifier la couleur du point moyen en cliquant droit dessus et en sélectionnant « Mettre en forme le point de données ». Choisir la couleur désirée sélectionnant « remplissage des marqueurs » puis « remplissage uni » et définir la couleur.


Le point G appartient-il à la droite de tendance ?
oui
Statistique à deux variables

Stats-02 : Prévoir la consommation d’électricité

Dans une journée, le pic de consommation d’électricité est atteint vers 19 h. Au niveau national on a enregistré un pic de consommation de 96 350 mégawatts le mercredi 15 décembre 2010 à 19 h 02. Vous travaillez à la centrale hydroélectrique locale et vous désirez prévoir les pics de consommation du prochain week-end pour la zone directement raccordée à votre centrale.
Pour établir cette prévision, vous disposez de dix relevés de consommations réalisés à 19h et présentés dans le tableau ci-dessous.

stat-01-activite-01

a) Représenter graphiquement cette série statistique à deux variables (x_i;y_i) dans le repère ci-dessous. Reporter la température en abscisse et la consommation correspondante en ordonnée.

Repérage dans un graphique

stat-01-activite-01b

b) De quel type de courbe se rapproche ce nuage de points ?
Ce nuage de points se rapproche d’une droite.
c) Soit G(x;y) le point moyen de cette série statistique à deux variables. x représente la moyenne des températures en °C et y représente la moyenne de la consommation en MW. Déterminer les cordonnées de G(x;y) et placer le point G sur le graphique de la page précédente.

Calcul de moyenne



G(0,9;4,85)


d) Tracer une droite d’ajustement qui passe par le point moyen G. Cette droite passe le plus prés possible de la plupart des points du nuage.


e) La météorologie nationale prévoit 0°C et –3°C respectivement pour samedi et dimanche. En utilisant la droite d’ajustement que vous venez de tracer, prévoyez les pics de consommation du week-end prochain.
La consommation correspondante à une température de 0°C est 5 MW et la consommation correspondante à une température de -3°C est 5,5 MW.

On donne l’équation de la droite d’ajustement :

y = -0,17x + 5

f) Calculer la consommation exacte en MW pour -6°C et la température atteinte pour une consommation de 4MW en arrondissant au dixième.

Résolution d’une équation du premier degré
Ne pas oublier que x est la température et y la consommation.
y connaissant x :
y = -0,17 \times x + 5
y = -0,17 \times (-6) + 5
y = -0,17 \times (-6) + 5
y = 3,98
y \approx 4

x connaissant y :
y = -0,17 \times x + 5
4 = -0,17 \times x + 5
4-5 = -0,17 \times x
y = \dfrac{-1}{-0,17}
y = 5,88235
y \approx 5,9

Statistique à deux variables

Stats-01 : En voiture

Kenny a acheté une voiture. Il a relevé sa consommation moyenne, soit 5 L d’essence aux 100 km. Il souhaite connaître l’émission de CO2 correspondante afin de situer sa voiture sur l’étiquette énergie/CO2 apposée sur les véhicules neufs (voir document ci-contre).
Pour cela, il prend note des consommations et des rejets de CO2 pour différentes voitures et construit le tableau suivant.
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1.a. Dans le repère ci-dessous, placer les points :
– d’abscisse x : consommation (en L/100 km) ;
– d’ordonnée y : rejet de CO2 (en g/km).

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1.b. Les points du nuage de points sont-ils alignés ?
Non
1.c. Peut-on déterminer le rejet de CO2 pour une consommation de 5 L/100 km ?
Non
2.a. Proposer une méthode pour déterminer la consommation moyenne des 6 modèles :
Additionner toutes les consommations puis diviser par le nombre de modèle.
2.b. Calculer \overline{x} la moyenne des consommations.
\overline{x}=\dfrac{3,9 + 4,5 + 5,6 + 6,3 + 6,7 + 7,3}{6}=5,7
2.c. Calculer \overline{y} la moyenne des rejets.
\overline{y}=\dfrac{90 + 106 + 129 + 142 + 157 + 169}{6}=132
2.d. Placer le point moyen G de coordonnées (\overline{x};\overline{y})
2.e. Le point G et le point A(3,9;90) définissent la droite d’ajustement du nuage de point.
Tracer cette droite (AG).
2.f. Que dire de la droite d’ajustement ?
C’est une droite ne passant pas par l’origine
C’est donc une fonction affine
2.g. Quelle est la formule associée. Cocher la bonne réponse.
\quad \Box \quad y=ax
\quad \Box \quad y=ax+b
\quad \Box \quad y=b
L’équation d’une fonction affine est bien y=ax+b
3.a. Proposer une méthode pour déterminer graphiquement le rejet de CO2 pour une consommation de 5 L/100 km ?
Rechercher l’ordonnée du point de la droite d’ajustement (AG) qui a pour abscisse x = 5.
Repérer x = 5
Remonter verticalement jusqu’à la droite d’ajustement (AG). Retrouver horizontalement l’axe des ordonnées.
Lire l’ordonnée y correspondante.
3.b. Mettre en œuvre cette méthode.
3.c. Quel est le rejet de CO2 produit par la voiture de Kenny ?
La voiture de Kenny rejette 116 g/km de CO2.
3.d. Indiquer son classement de catégorie sur l’étiquette énergie/CO2.
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La voiture de Kenny est de classe B.
A retenir : la droite d’ajustement modélise un nuage de points.