Fonction dérivable sur un intervalle I
Étant donnée une fonction f dérivable sur un intervalle I, la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction f en x est appelée fonction dérivée de la fonction f sur I et est notée f'.
Un intervalle I peut se présenter sous différentes sortes : I=[0;5], I=]-\infty;5] ou encore I=]-2;+\infty[.
I=\mathbb{R} représente l’ensemble des réels et I=\mathbb{R}^+ représente l’ensemble des réels positifs.
Tableau récapitulatif des dérivées usuelles
| Fonction |
Expression |
Fonction dérivée |
| Constante |
a |
0 |
| Affine |
ax+b |
a |
| Carrée |
x^2 |
2x |
| Cube |
x^3 |
3x^2 |
| Inverse |
\dfrac{1}{x} |
-\dfrac{1}{x^2} |
| Racine carrée |
\sqrt{x} |
\dfrac{1}{2\sqrt{x}} |
Si f(x)=4 alors f'(x)=0 => Fonction constante
Si f(x)=2x alors f'(x)=2 => Fonction linéaire
Si f(x)=2x+4 alors f'(x)=2 => Fonction affine (=fonction linéaire + fonction constante)
Si f(x)=x^2 alors f'(x)=2x => Fonction carrée
Si f(x)=x^3 alors f'(x)=3x^2 => Fonction cube
Si f(x)=\dfrac{1}{x} alors f'(x)=-\dfrac{1}{x^2} => Fonction inverse
Si f(x)=\sqrt{x} alors f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} => Fonction racine carrée
Règles de dérivation 1 : Fonction multipliée par un réel
Étant donnée deux fonctions f et h dérivables sur un intervalle I et un réel k telles que h=k \times f et , la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction h en x est appelée fonction dérivée de la fonction h sur I et est notée h' et est égale à k \times f'.
Si h(x)=2x alors on peut écrire h(x)=k \times f(x) avec k=2 et f(x)=x or f'(x)=1.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=2 \times 1=2.
Si h(x)=3x^2 alors on peut écrire h(x)=k \times f(x) avec k=3 et f(x)=x^2 or f'(x)=2x.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=3 \times 2x=6x.
Si h(x)=5\sqrt{x} alors on peut écrire h(x)=k \times f(x) avec k=5 et f(x)=\sqrt{x} or f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=5 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}.
Règles de dérivation 2 : Addition de deux fonctions
Étant donnée trois fonctions f,g et h dérivables sur un intervalle I et telles que h=f+g, la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction h en x est appelée fonction dérivée de la fonction h sur I et est notée h' et est égale à f'+g'.
Si h(x)=2x+4 alors on peut écrire h(x)=f(x)+g(x) avec f(x)=2x et g(x)=4
or f'(x)=2 et g'(x)=0. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=2+0=2.
Si h(x)=x^3+x^2 alors on peut écrire h(x)=f(x)+g(x) avec f(x)=x^3 et g(x)=x^2
or f'(x)=3x^2 et g'(x)=2x. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=3x^2+2x.
Si h(x)=\dfrac{1}{x}+2x alors on peut écrire h(x)=f(x)+g(x) avec f(x)=\dfrac{1}{x} et g(x)=2x
or f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} et g'(x)=2. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2.
Lors de plusieurs additions de fonctions, on applique la règle sur la dérivée de l’addition de deux fonctions plusieurs fois.
h(x)=2x^3-x^2+3x-2 donne h'(x)=6x^2-2x+3
