PRE-STA-02 : Indicateurs de dispersion : étendue, écart type, écart interquartile.

1. Quelles sont les températures maximale et minimale du mois de mai 2013 à Paris ?
La température maximale est 22°C.
La température minimale est 9°C.


2. Quelle est l’étendue des températures du mois de mai 2013 à Paris ?
L’étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.
Attention c’est bien la différence entre les variables et non les effectifs.
22-9=13
L’étendue est ici de 13°C


3. Quels sont les quartiles des températures du mois de mai 2013 à Paris ?
Le premier quartile Q_1 correspond à 25 % de l’effectif total.
Pour calculer le rang du premier quartile, on effectue le calcul suivant \dfrac{N \times1}{4} en arrondissant au chiffre supérieur.
Le troisième quartile Q_3 correspond à 75 % de l’effectif total.
Pour calculer le rang du troisième quartile, on effectue le calcul suivant \dfrac{N \times3}{4} en arrondissant au chiffre supérieur.
Ces paramètres sont liés à la médiane et indique la dispersion des valeurs autour de cette médiane.
L’effectif est de 31.
\dfrac{31 \times1}{4}=7,75 Le premier quartile est au rang 8 soit 15°C.
\dfrac{31 \times3}{4}=23,25 Le troisième quartile est au rang 24 soit 18°C.


4. Quel est l’écart interquartile des températures du mois de mai 2013 à Paris ?
L’écart interquartile est la différence entre Q_3 et Q_1 et représente 50% de l’effectif.
Q_3-Q_1
Q_3-Q_1=18-15
L’écart interquartile est de 3°C.
50% des températures sont différentes de 3°C.






5. Quel est l’écart-type des températures du mois de mai 2013 à Paris ?
L’écart-type, noté \sigma, est une donnée qui sera révélée par la calculatrice ou un tableur (TICE).
presta02
Ce paramètre est lié à la moyenne et indique la dispersion des valeurs autour de cette moyenne.
\sigma=2,71
L’écart-type est de 2,71°C.

PRE-STA-01 : Indicateurs de tendance centrale : mode, classe modale, moyenne, médiane.

Températures du mois de mai 2013 à Paris
Damien a relevé les températures du mois de mai à Paris sur un site internet. Les voici par jour :

14 19 17 18 20 19 22
21 17 14 18 16 17 16
16 14 17 15 16 12 12
16 13 9 16 17 19 15
16 16 17
1. Quelle est la moyenne des températures du mois de mai 2013 à Paris arrondi au centième ?
La moyenne d’une variable statistique se calcule selon la formule :
\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_N}{N}
x est la variable statistique étudiée
N est l’effectif global
\overline{x}=\dfrac{14+19+...+17}{31}
\overline{x}=16,2580645
On arrondit au centième en regardant le troisième chiffre après la virgule.
– S’il est inférieur ou égal à 4 soit (0,1,2,3,4) alors on arrondit au chiffre inférieur.
– S’il est supérieur ou égal à 5 soit (5,6,7,8,9) alors on arrondit au chiffre supérieur.
\overline{x}=16,26


2. Compléter le tableau suivant en notant le nombre de jours pour chaque température entre 9°C et 22°C :

9 10 11 12 13 14 15
1
16 17 18 19 20 21 22
1






3. Quelle est la moyenne pondérée des températures du mois de mai 2013 à Paris ?
La moyenne pondérée d’une variable statistique se calcule selon la formule :
\overline{x}=\dfrac{x_1\times n_1+x_2\times n_2+...+x_N\times n_N}{N}
x est la variable statistique étudiée
n_1 est l’effectif de la variable x_1
N est l’effectif global et N=n_1+...+n_N
\overline{x}=\dfrac{9\times1+10\times0+...+22\times1}{31}
\overline{x}=16,2580645
Bien sûr nous allons trouvé la même moyenne.
4. Quel est le mode des températures du mois de mai 2013 à Paris ?
Le mode est la valeur de la variable qui a le plus grand effectif.Dans le cas d’une distribution en classes, le mode est le centre de la classe modale (classe ayant le plus grand effectif).
La valeur ayant le plus d’effectif est la température 16°C.
5. Quelle est la température médiane du mois de mai 2013 à Paris ?
La médiane est la valeur (notée Me) de la variable pour laquelle il existe, dans cette série, autant de valeurs plus grandes que de valeurs plus petites.
Comment la calculer ?
1. Trier les valeurs dans l’ordre croissant
2. Déterminer l’effectif globale N
3.a. Si N est impair alors on trouve la médiane au rang \dfrac{N+1}{2}
3.b. Si N est pair alors on trouve la médiane entre le rang \dfrac{N}{2} et \dfrac{N+1}{2} donc on fait la demi-somme entre ses 2 valeurs.
L’effectif est de 31. Il est impair donc \dfrac{31+1}{2}=16.
La médiane se trouve au 16ème rang soit 16°C.
La médiane des températures est 16°C.

SEC-STA-03 – Regroupement par classes d’une série statistique

Une enquête portant sur la distance entre le domicile et le lieu de travail, effectuée auprès de salariés d’une entreprise, a donné les résultats suivants (en km) :

43 9 15 13 17
22 27 23 2 2
6 17 16 32 5
5 11 15 10 1
0 16 12 14 3
1. Regrouper ces résultats dans un tableau à l’aide de classes d’amplitude 10km. Arrondir les fréquences au dixième.

Distance Effectif Fréquence Degré
[0;10[
[
[
[
[
Total
On pourra traduire [ compris et ] non compris pour intégrer un nombre dans une classe
On passe de la fréquence au degré en multipliant par 360
2. Quelle est la population étudiée ?
Les employés d’une entreprise
3. Quel est le caractère étudié de la population ?
La distance entre le travail et le domicile




4. Quelle est le caractère étudié de la population ? Est-il qualitatif, quantitatif discret ou continu ?
La distance entre le travail et le domicile
Il est quantitatif discrte quand il est rangé sous forme de nombres distincts.
Il est quantitatif continu quand il est rangé sous forme de classes.
5. En déduire la meilleure représentation adaptée.
Quand le caractère est quantitatif continu, le diagramme adapté est l’histogramme.
5. Construire le diagramme























CAP-PRO04 : Utiliser et calculer des pourcentages

Camille reçoit les deux offres commerciales promotionnelles différentes :
– 5€ offerts en bon d’achat tous les 50€ d’achat
– 6% de remise sous forme de bon d’achat sur tous vos achats
Elle pense que l’offre n°1 est plus intéressante pour elle, sachant qu’elle dépense 70€ en produits alimentaires.
A-t-elle raison ?
1.Quel est le point commun entre les 2 offres ?
Elles donnent tous les 2 des bons d’achat.
On s’occupe maintenant de l’offre 1.
2. Compléter le tableau suivant

Montant de l’achat 40 50 60 70 80 90 100
Montant du bon d’achat .. .. .. .. .. .. ..
Montant de l’achat 40 50 60 70 80 90 100
Montant du bon d’achat 0 5 5 5 5 5 10
3.Quel est le montant du bon d’achat reçu par Camille ?
Pour 70€, Camille reçoit un bon d’achat de 5€.
4. Compléter le tableau de proportionnalité suivant à l’aide du produit en croix?

Prix initial 70 100
Economie 5 ..
On utilise le produit en croix.
\dfrac{5 \times 100}{70}=7,42

Prix initial 70 100
Economie 5 7,42

Le nombre trouvé correspond au pourcentage de réduction, il est égale à 7,42 %.

On s’occupe maintenant de l’offre 2.
5. Compléter le tableau suivant

Montant de l’achat 40 50 60 70 80 90 100
Montant du bon d’achat .. .. .. .. .. .. ..
On calcule le montant du bon d’achat en faisant la multiplication entre le montant de l’achat et le pourcentage.

Montant de l’achat 40 50 60 70 80 90 100
Montant du bon d’achat 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6
6.Quel est le montant du bon d’achat reçu par Camille ?
Pour 70€, Camille reçoit un bon d’achat de 4,2€.
7.Résumer les 2 offres pour 70€ d’achat.
Avec l’offre 1 : Pour 70€, Camille reçoit un bon d’achat de 5€, soit 7,42% d’économie.
Avec l’offre 2 : Pour 70€, Camille reçoit un bon d’achat de 4,2€, soit 6% d’économie.
7.Camille a-t-elle raison ? Justifier
Camille a raison car l’offre 1 dispose du meilleur pourcentage de réduction.
En effet l’offre 2 donne 6% d’économie contre 7,42% pour l’offre 1.
Un pourcentage exprime une quantité par rapport à 100.
Appliquer un pourcentage à un nombre, c’est multiplier ce nombre par le pourcentage.

CAP-PRO02 : Des crêpes pour 20

Théo décide de faire des crêpes pour son anniversaire. Il trouve une recette avec des proportions pour 20 crêpes, mais il souhaite en faire deux fois plus. Il pense démarrer la cuisson des crêpes une heure et demie avant de partir pour son match de foot. A-t-il suffisamment d’ingrédients et de temps pour faire ses crêpes ?
1. Donner le nombre de crêpes que Théo souhaite faire.
2 fois plus que 20 donc 40 crêpes
2. Le tableau suivant donne les quantités d’ingrédients pour 20 crêpes.
a. Donner la valeur du coefficient de proportionnalité et compléter la deuxième ligne du tableau pour 40 crêpes.

Farine (en g) Oeufs Lait (en cl) Sucre (en cs) Huile (en cs)
20 crêpes 300 4 60 1 2
40 crêpes
Le coefficient de proportionnalité pour passer de la première à la seconde ligne est 2.

Farine (en g) Oeufs Lait (en cl) Sucre (en cs) Huile (en cs)
20 crêpes 300 4 60 1 2
40 crêpes 600 8 120 2 4
b. Théo s’aperçoit qu’il n’a que 6 oeufs. Il faut donc adapter les proportions. Compléter le tableau donner le nombre de crêpes qu’il est possible de faire avec ces 6 oeufs.

Farine (en g) Oeufs Lait (en cl) Sucre (en cs) Huile (en cs)
20 crêpes 300 4 60 1 2
? crêpes 6

Si vous bloquez, utilisez le lien vers la méthode

Farine (en g) Oeufs Lait (en cl) Sucre (en cs) Huile (en cs)
20 crêpes 300 4 60 1 2
30 crêpes 450 6 90 1,5 3

Le coefficient de proportionnalité est ici de 1,5 pour passer de la première à la seconde ligne. On peut faire 30 crêpes avec 6 oeufs.

3. Théo estime à environ 2 minutes le temps pour cuire une crêpes. Calculer le temps de cuisson nécessaire pour la cuisson de 30 crêpes. Présenter les résultats sous la forme d’un tableau.
Pour cuire 30 crêpes, il faut donc 60 minutes soit 1 heure.
Le coefficient de proportionnalité est de 2.

1 crépe 30 crepes
Temps de cuisson en minutes 2 60
4.a. Théo peut-il faire 40 crêpes comme il le souhaitait ? Justifier
Théo ne peut pas faire 40 crêpes car il n’a que 6 oeufs sur les 8 nécessaires.
Il peut faire 30 crêpes.
4.b. A-t-il suffisamment de temps pour cuire des crêpes ? Justifier
Il lui reste une heure et demie avant de partir et lui faut une heure pour cuire les 30 crêpes. Il lui reste donc suffisamment de temps.
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on peut calculer un coefficient de proportionnalité qui permet de passer d’une grandeur à l’autre. Pour traiter une situation de proportionnalité, on utilise le coefficient de proportionnalité ou le produit en croix.

P02 : Principales instructions

Instruction conditionnelle

L’instruction si… alors introduit une condition.Si la condition est vérifiée, le traitement associé est effectué. L’instruction sinon peut compléter l’instruction « si…alors » pour exécuter un autre traitement lorsque la condition n’est pas vérifiée.

Première indentation : A chaque que l’on utilise une instruction finissant par « : », il faut indexer le texte (cela sera automatique sur l’Idle de Python au lycée).
Un petit exemple simple d’utilisation de l’instruction conditionnelle
Louise doit appliquer une remise de 5 % sur les factures d’un montant supérieur à 500 €. Écrire un programme pour calculer le montant net à payer par le client à partir du montant de sa facture.

if F<500:

# si F est inférieur à 500 alors on stocke F dans N

N=F

else:
# si F est supérieur à 500 alors on stocke F*0,95 dans N

N=0,95*F

print(‘Le montant est ‘,N)

Premier type d’exercice que l’on peut demander aux élèves
Créer un programme Python en suivant les instructions suivantes :
x ← nombre aléatoire entre 1 et 9.
y ← nombre aléatoire entre 1 et 9.
Afficher « x × y = »
Demander et saisir la valeur de z.
Si x × y = z alors afficher « Réponse exacte »
Sinon afficher « Réponse fausse, le résultat est (x × y) »

Instruction de boucle bornée

Une boucle bornée est utilisée pour répéter plusieurs fois la même suite d’instructions.En début de boucle, un compteur est initialisé à 1.Il augmente d’une unité à chaque traitement jusqu’au nombre n de répétitions demandées.

Un petit exemple simple d’utilisation de l’instruction de boucle bornée
On utilise une boucle bornée pour simuler 10 lancers successifs d’un dé à 6 faces.

for i in range(10):

# si F est inférieur à 500 alors on stocke F dans N

x=randint(1,6)
Deuxième type d’exercice plus large que l’on peut demander aux élèves
Ecrire un programme Python permettant de simuler 20 lancers d’une pièce de monnaie et afficher le résultat de chaque lancer.Le nombre 0 est associé à PILE, le nombre 1 à FACE.
Troisième type d’exercice que l’on peut demander aux élèves
Que permet de faire le programme suivant:

x=-2
for i in range(10):
#le carré d’un nombre s’écrit avec **2

y=-5x**2+10
print("x",x," ","f(x)=",y)
x=x+1

Instruction de boucle non bornée

Avec une boucle non bornée, la répétition de l’action dépend d’une condition.Tant que la condition est vraie, le traitement est répété. Si la condition est fausse, la boucle est arrêtée.

Un petit exemple simple d’utilisation de l’instruction de boucle non bornée
On utilise une boucle non bornée pour savoir dans combien de temps Soraya pourra acheter un smartphone qui coûte 190 €. Actuellement, elle possède 32 € dans sa tirelire et elle a décidé d’économiser chaque semaine 8 € sur son argent de poche.

S=32

n=0

while S<190:

n=n+1
S=S+8

print(‘nombre de semaines’,n)

Quatrième type d’exercice que l’on peut demander aux élèves
Pour commencer une partie de dés, Malik doit obtenir un six avec un dé.Pour connaître, en moyenne, combien de lancers du dé sont nécessaires pour obtenir six, il a commencé à écrire l’algorithme et le programme ci-dessous.
screenshot_269

Fonctions sans paramètre

Une fonction est un sous-programme qui réalise un traitement avec les arguments nécessaires et qui rend une valeur.Une fonction n’affiche pas de réponse à l’écran, elle doit être intégrée à un programme.

Un petit exemple simple d’utilisation d’une fonction sans paramètre
On utilise les fonctions quand on veut réutiliser celle-ci plusieurs fois dans le programme. Elle permet de clarifier aussi la programmation quand plusieurs fonctions existent. Cette fonction sans paramètre est définie en premier et est appelée ensuite dans le programme. Elle permet d’afficher un compteur 0,1,2,3

def compteur3():

i = 0
while i < 3:
     print(i)
     i=i+1

print("bonjour")
compteur3()

Cinquième type d'exercice que l'on peut demander aux élèves
Créer un programme qui définie une fonction simulant le tirage d'un dé à 20 faces. Effectuer ensuite 2 lancers de celui-ci.

Fonctions avec paramètres

Une fonction est un sous-programme qui réalise un traitement avec les arguments nécessaires et qui rend une valeur.Une fonction n’affiche pas de réponse à l’écran, elle doit être intégrée à un programme.

Un petit exemple simple d'utilisation d'une fonction avec paramètre
Les fonctions avec paramètres permettent de prendre un ou plusieurs paramètres définies au travers la fonction mais aussi variable à souhait. Ici la fonction a comme paramètre la variable 'stop' permettant de varier la taille du décompte.

def compteur(stop):

i = 0
while i < stop:
     print(i)
     i=i+1

compteur(4)
compteur(2)

Sixième type d'exercice que l'on peut demander aux élèves
Corriger le programme suivant pour qu'il affiche le décompte 1,2,3,4,5,6,7,8

def compteur(stop):

i = 0
while i < stoppe:
     print(i)
     i=i-1

a = 5
compteur(a)

P01 : Premier programme Python

Dans cette partie, nous allons utiliser le module Idle de Python.
Il est possible d’utiliser la ligne de commande pour des programmes très courts mais l’Idle est préférable pour les programmes plus longs et surtout garde une trace de l’activité de l’élève.

Préalable à l’utilisation des mathématiques en programmation Python

Pour toute utilisation dans le cadre des mathématiques, il faut importer à l’aide de la fonction « import » la bibliothèque spécifique « maths » de Python dans laquelle sont fournis toutes les données mathématiques comme pi,…
Comment le faire ?
from maths import *
Cette importation est essentielle et doit apparaître sur chaque programme pour ne pas avoir de problème d’interprétation.

Commentaires en Python

Afin de clarifier les instructions dans un programme, on utilise des commentaires autrement dit des instructions non interprétées par Python.
Les commentaires sous Python se font avec un dièse « # » en début de ligne
Comment le faire ?
# Importation de la bibliothèque maths dans le programme
from maths import *
# Fin de l’importation

Instructions d’entrée et de sortie

Un programme effectue des opérations sur des variables. Une variable est définie par un nom et possède une valeur. Cette valeur peut être un nombre ou une chaîne de caractères. La valeur de la variable peut être saisie par l’opérateur ou affectée directement. L’instruction d’entrée permet de saisir la valeur de la variable. L’instruction de sortie permet d’afficher la valeur de la variable.

L’interaction avec l’utilisateur en entrée s’effectuera avec l’instruction d’entrée « input » et l’affichage de la réponse à l’écran avec l’instruction de sortie « print »

# Importation de la bibliothèque maths dans le programme
from maths import *
# Variable R demandée à l’utilisateur à l’aide de l’instruction input
R=input(‘Rayon’)
Le language Python est faiblement typé. Il va donner automatiquement un type à une variable sauf si on lui indique un typage particulier.
Qu’est ce qu’un typage ?
A=3 par exemple stocke le ‘nombre entier’ dans la variable A
Message=’C’est faux’ par exemple stocke la chaîne de caractère ‘C’est faux’ dans la variable Message.
Les trois types principaux a utilisé sont int pour un nombre entier, float pour un nombre décimal et str pour une chaîne de caractère.

Stockage dans une variable

Une variable est un lieu de stockage dans un programme. Attention, pas d’espace et d’accent dans un nom de variable !
périmètre du cercle ne fonctionne pas mais perimetre_du_cercle lui fonctionnera.
# Stockage d’une valeur dans une variable
# Ici nous allons stocker dans A l’aire d’un disque connaissant le rayon
A=pi*R*2

Affichage du résultat en sortie

L’affichage du résultat s’effectuera avec l’instruction de sortie ‘print’ et l’affichage de la réponse à l’écran avec l’instruction de sortie « print ».
# Affichage de la solution stockée dans la variable A
# Pour parfaire l’affichage, on ajoute du texte avant la valeur de la variable séparé par une virgule qui sera concaténé (ajouter du texte à un autre).
print(‘Aire : ‘,A)

Premier programme de la calcul d’une aire A d’un disque connaissant le rayon R

from maths import *
R=input(‘Rayon’)
A=pi*R*2
print(‘Aire : ‘,A)

FD10 – Troisième problème

L’entreprise C.S.I.I. produit des articles du domaine informatique pour l’Europe.
Le coût de production C(n) exprimé en milliers d’euro pour n articles est donné par la fonction C avec : C(n)=0,02n^2-2n+98 pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Le montant des ventes V(n) exprimé en milliers d’euro est pour sa part donné par la fonction V avec V(n)=1,5n pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
1. Compléter le tableau suivant :

n 50 60 75 90 100 125 150
C(n) 50 98 248
C(50)=48
C(75)=60,5
C(90)=80
C(125)=160,5
2. Tracer dans le même repère à l’aide de Géogébra les courbes représentant les fonctions C et V.
3. Déterminer graphiquement l’intervalle des valuers de n pour lesquelles la production est rentable.
La production est rentable quand V est au-dessus de C donc sur l’intervalle [50 ; 140]
4. Le bénéfice B(n) est donné par la fonction B pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Exprimer B(n) en fonction de n et déterminer la dérivée B'(n).
B(n)=V(n)-C(n)
B(n)==1,5n-(0,02n^2-2n+98)
B(n)=-0,02n^2+3,5n-98
B'(n)=-0,04n+3,5
5. En déduire le nombre d’articles à vendre pour que le bénéfice soit maximum.
B'(n)=0
-0,04n+3,5=0
-0,04n=-3,5
n=87,5
Le nombre d’article est maximum pour n=87,5 car la fonction B est une fonction carrée et sa dérivée change de signe en n=87,5.

FD09 – Deuxième problème

Pour contrer l’offensive du commerce sur Internet dans le domaine de la cosmétique, le salon SANTÉ-BEAUTÉ a investi, depuis 4 ans, dans la publicité et l’aménagement de son point de vente. Le responsable du salon a constaté que pour une somme investie s (exprimée en k€), le résultat R réalisé, vérifie la formule R(s)=-6s^2+60s+12 pour
1.Calculer le résultat pour une somme investie de 3 k€.
R(s)=-6(3)^2+6(3)+12
R(s)=138
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [1,5;6] par : f(x)=-6x^2+60x+12
2.a. Soit f' la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1,5;6]. Calculer f'(x).
f'(x)=-12x+60
2.b. Résoudre l’équation f'(x)=0.
-12x+50=0
-12x=-60
x=\dfrac{-60}{-12}
x=5
2.c. Compléter le tableau de variation de la fonction f.

x
f'(x)
f(x)
2.d. En utilisant le logiciel Géogébra, représenter graphiquement la fonction f.


2.e. Donner le maximum de la fonction f sur [1,5 ; 6].
f(5)=-6(5)^2+(5)x+12
f(5)=162
3. En utilisant les réponses précédentes, donner le montant de l’investissement (en euros) qui permet d’obtenir un résultat maximum.
Le montant de l’investissement (en euros) qui permet d’obtenir un résultat maximum est s=5

FD08 – Premier problème

Après avoir transformé ses magasins, une chaîne s’intéresse au lancement d’une nouvelle ligne de produits biologiques sur le marché.
Pour faire connaitre ces produits, les dirigeants décident de créer une pochette « découverte » qui sera proposée au prix de 2 €.
On étudie la rentabilité de cette opération sur une journée sachant qu’au maximum 400 pochettes peuvent être fabriquées chaque jour.
1) Calculer la recette réalisée dans le cas de :
a) 100 pochettes vendues par jour.
b) 400 pochettes vendues par jour.
La recette est égale au nombre de pochettes vendus multipliées par le coût 2€.
a) 100 pochettes : 100 \times 2=200
b) 400 pochettes : 400 \times 2=800
2) On note R la recette journalière et n le nombre de pochettes vendues par jour.
Exprimer R(n) en fonction de n.
R(n)=2n
3. Le coût de fabrication journalier, en euros, de cette pochette est modélisé par la fonction f
définie sur l’intervalle [0;400] telle que f(x)=-0,01x^2+5x+10.
a. Déterminer f'(x).
f'(x)=-0,02x+5
b. Résoudre l’inéquation f'(x)>0.
f'(x)>0 correspond à -0,02x+5>0
donc -0,02x>-5
donc x<\dfrac{5}{0,02} ou x<250 soit I=[0;250[








c. Compléter le tableau de variations.
tbv-04
4. A l’aide de Géogébra, tracer dans le repère suivant les représentations graphique de f(x)=-0,01x^2+5x+10 et y=2x sur l’intervalle [0;400] puis le point d’intersection de ces représentations graphiques.
5. Donner, en justifiant votre réponse, le nombre minimum de pochettes qu’il est nécessaire de vendre pour que l’opération soit rentable.
Le nombre minimum de pochettes doit être de 304 car les deux représentations graphiques se croisent en ce point.

grp-02

FD07 – Premier exercice complet et problème

On considère la fonction f définie sur l’intervalle I=[18;40] par : f(x)=-1,5x^2+84x-950

1) Calculer f'(x)f' désigne la dérivée de la fonction f.
2) Étudier le signe de f'(x) sur l’intervalle I=[18;40].
3) Établir le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle I=[18;40].
4) En déduire la valeur de x pour laquelle la fonction f admet un maximum.

Dans une grande surface, un samedi, le nombre de clients N(t) présents dans le magasin en fonction de l’heure t est donné par :
N(t)=-5t^3+225t^2-3240t+15250 Les heures sont dans l’intervalle I=[10;20]
1) Compléter le tableau de valeurs de la fonction N situé ci-dessous.

t 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
N(t) 350 400 450

2) Placer les points correspondants dans le repère situé ci-après. Tracer la courbe représentative de la fonction N sur l’intervalle I=[10;20].
gph-02
3) Déterminer graphiquement le nombre de clients présents à 15 heures 30 minutes. Laisser apparents les traits permettant la lecture graphique.
4) Soit N' la fonction dérivée de N. Déterminer N'(t).
5) Vérifier que N'(t)=0 équivaut à t^2-30t+216=0.
6) Résoudre cette équation.
7) Compléter le tableau de variation situé ci-dessous.
tbv-02
8) Déduire des résultats précédents l’heure à laquelle il faut prévoir un maximum de caissières pour fluidifier le passage aux caisses.

FD06 – Tableau de variation

Afin de résumer toutes les variations d’une fonction, il faut élaborer un tableau de variation.
interactiff20
① Ce tableau se base sur l’ensemble de définition I de la fonction qui vous sera donné.
Dans ce tableau de variation doit figurer les abscisses de I ainsi que les valeurs particulières qui annulent la dérivée.

x -\infty -1 0 2 +\infty

﹖⃝Ici l’ensemble de définition est ]-\infty;+\infty[ avec 3 valeurs particulières -1;0;2.
—————–
② On doit y trouver aussi une étude du signe de la dérivée.

f'(x) + 0 - 0 +

﹖⃝Ici le signe de la dérivée change aux valeurs particulières -1;0;2.
—————–
③ Et enfin les variations de la fonction symbolisées par des flèches.
On en conclut les variations de la fonctions avec des flèches montantes pour de la croissance, descendante pour de la décroissance et horizontale pour la constance.
⚠ N’oubliez d’inscrire les valeurs des images des valeurs particulières par la fonction f.












Tableau de variation de la fonction f(x)=3x^2+12x-5 définie sur l’intervalle I=[-5;2]
① On calcule la dérivée de la fonction f : f'(x)=6x+12
② On résout l’équation f'(x)=0 : 6x+12=0 ou x=-2
La dérivée s’annule donc en -2, la fonction change de signe en ce point.
③ On étudie le signe de la dérivée de f :
f'(x)>0 quand x>-2
f'(x)<0 quand x<-2 On résume :
f'(x) - 0 +

④ On calcule les valeurs des images des valeurs particulières.
f(-5)=3(-5)^2+12(-5)-5=10
f(-2)=3(-2)^2+12(-2)-5=-17
f(2)=3(2)^2+12(2)-5=31
⑤ On construit les flèches associées aux signes de la dérivées.
⑥ On obtient :
tdv-01


① Réaliser le tableau de variation de la fonction f(x)=-x^2+3x-2 sur I=[-1;4]
② Réaliser le tableau de variation de la fonction f(x)=x^2+4x-2 sur I=[-4;1]

FD05 – Applications à l’étude des variations d’une fonction

Signe de la dérivée et variations
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

Si f'(x)>0 alors la fonction est croissante sur I.
Si f'(x)=0 alors la fonction est constante sur I.
Si f'(x)<0 alors la fonction est décroissante sur I.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f(x)=2x alors f'(x)=2 or f'(x)>0 donc f est croissante.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f(x)=-3x alors f'(x)=-3 or f'(x)<0 donc f est décroissante.


Recherche d’extremum
SI pour une valeur x_0 appartenant à l’intervalle I, f'(x_0) s’annule en changeant de signe alors la fonction f passe par un extremum (minimum ou maximum) pour x=x_0.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I telle que f(x)=x^2.
f'(x)=2x
Si x<0 alors f'(x)<0 donc la fonction est décroissante.
Si x=0 alors f'(x)=0 donc la fonction est constante.
Si x>0 alors f'(x)>0 donc la fonction est croissante.
La fonction f(x)=x^2 s’annule en x_0=0 en changeant de signe donc x_0=0 est un extremum ici un minimum.

carré




1.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I=[-2;2] telle que f(x)=-3x^2.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
2.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \mathbb{R} telle que f(x)=-4x^3.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
3.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \mathbb{R^+*} telle que f(x)=-\sqrt{x}.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
4.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I=[1;7] telle que f(x)=\dfrac{-3}{x}.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer un extremum.

5.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I=[-1;3] telle que f(x)=x^2-2x+1.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer un extremum.

FD04 – QCM Dérivées

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QCM Dérivées

Calculez les dérivées des fonctions suivantes
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FD03B – Exercices calcul de dérivées

① Calculer la dérivée de f(x)=-3x
f'(x)=-3 -> Fonction affine + règle kf
② Calculer la dérivée de f(x)=-2x^2
f'(x)=-4x -> Fonction carrée + règle kf
③ Calculer la dérivée de f(x)=\dfrac{-6}{x}
f'(x)=\dfrac{6}{x^2} -> Fonction inverse + règle kf
④ Calculer la dérivée de f(x)=6\sqrt{x}
f'(x)=\dfrac{6}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3}{\sqrt{x}} -> Fonction racine carrée + règle kf
⑤ Calculer la dérivée de f(x)=3x^2+5x-2
f'(x)=6x+5 -> règle f+g
⑥ Calculer la dérivée de f(x)=-x^3+8x+12
f'(x)=-3x^2+5 -> règle f+g
⑦ Calculer la dérivée de f(x)=x^3-2x^2+3x-9
f'(x)=3x^2-4x+3 -> règle f+g
⑧ Calculer la dérivée de f(x)=\dfrac{3x^2+2x-2}{x}
f(x)=\dfrac{3x^2}{x}+\dfrac{2x}{x}-\dfrac{2}{x}
f(x)=3x+2-\dfrac{2}{x}
f'(x)=3+\dfrac{2}{x^2} -> règle f+g

⑨ Calculer la dérivée de f(x)=(x-2)(-x+5)
f(x)=-x^2+5x+2x-10
f(x)=-x^2+7x-10
f'(x)=-2x+7 -> règle f+g

⑩ Calculer la dérivée de f(x)=4\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)
f(x)=4\sqrt{x} \times \sqrt{x}+4\sqrt{x} \times 2
f(x)=4x+8\sqrt{x}
f'(x)=4+\dfrac{4}{\sqrt{x}} -> règle f+g