Pour financer l’achat de cinq machines à commande numérique, l’entreprise Alpha-Usinage contracte un emprunt sur 10 ans. Chaque versement annuel augmente de 5 % par rapport au précédent. La première annuité est de 20 000 €. Le comptable de l’entreprise veut connaître le montant total du remboursement de cet emprunt.
Définition : Une annuité est une somme d’argent versée annuellement par un emprunteur pour rembourser une dette. Elle est constituée d’une partie du capital emprunté, ainsi que des intérêts dus. Elle peut être variable ou constante d’une année à l’autre.
Définition : Une annuité est une somme d’argent versée annuellement par un emprunteur pour rembourser une dette. Elle est constituée d’une partie du capital emprunté, ainsi que des intérêts dus. Elle peut être variable ou constante d’une année à l’autre.
A. Calcul des annuités
Soit u_1, u_2, …, u_{10} les montants des dix annuités.
1. Calculer le montant de la deuxième annuité u_2.
u_2=20 000+(20000 \times 5 \%)=20000+20000 \times 0,05
u_2=20000 \times 1,05
u_2=21000
u_2=20000 \times 1,05
u_2=21000
2. Calculer le montant de la troisième annuité u_3.
u_3=21 000+(21000 \times 5 \%)=21000+21000 \times 0,05
u_3=21000 \times 1,05
u_3=22050
u_3=21000 \times 1,05
u_3=22050
3. Calculer le montant de la quatrième annuité u_4.
u_4=22050+(22050 \times 5 \%)= 22050+22050 \times 0,05
u_4=22050 \times 1,05
u_4=23152,5
u_4=22050 \times 1,05
u_4=23152,5
4. Calculer \dfrac{u_4}{u_3}, \dfrac{u_3}{u_2} et \dfrac{u_2}{u_1}
\dfrac{u_4}{u_3}=\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{u_2}{u_1}=1,05
5. Quelle est la nature de la suite (u_n) ? Justifier et précisant la raison de cette suite.
On multiplie chaque terme par 1,05 pour trouver la valeur du terme suivant. C’est donc une suite géométrique de raison q = 1,05.
6. Exprimer u_{n} en fonction de n.
u_{n}=u_1 \times q^{n-1}
u_{n}=20000 \times 1,05^{n-1}
u_{n}=20000 \times 1,05^{n-1}
7. Calculer u_{10}.
On remplace n par 10 dans l’équation trouvée plus haut :
u_{10}=20000 \times 1,05^{10-1}
u_{10}=20000 \times 1,05^{9}
u_{10}=31026,56
Dans 10 ans, l’annuité sera alors de 31026,56 €.
u_{10}=20000 \times 1,05^{10-1}
u_{10}=20000 \times 1,05^{9}
u_{10}=31026,56
Dans 10 ans, l’annuité sera alors de 31026,56 €.
B. Montant total du remboursement
Sur une feuille de calcul d’un tableur, reproduire la tableau représenté ci-dessus. Pour cela, saisir :
1. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule C3 ?
C3=C2 \times 1.05
2. Compléter le tableau jusqu’à la dixième annuité.
3. Déterminer la somme à l’aide de la fonction «somme» du tableur des dix annuités.
On utilisera la fonction =somme() pour calculer la somme des 10 annuités. On trouve alors S=251557,85 en arrondissant au centième.
L’entreprise aura alors remboursée 251558 € de son emprunt au bout de 10 ans.
On verra juste après qu’une formule existe pour calculer n’importe quelle somme de n termes pour une suite géométrique.
L’entreprise aura alors remboursée 251558 € de son emprunt au bout de 10 ans.
On verra juste après qu’une formule existe pour calculer n’importe quelle somme de n termes pour une suite géométrique.