Les ampoules de 40 W « classiques » étant remplacées par les ampoules LED, l’entreprise décide de diminuer sa production de 6% par mois à partir du mois de février 2017. La production prévue P_1 pour janvier 2017 est 10 000 ampoules.
1. Calculer la production P_2 pour février 2017.
Une diminution de 6% correspond à une multiplication de (1-t%) :
1-t%=1-6%=1-0,06=0,94
On multiplie donc par 0,94 la production de janvier pour connaître celle de février.
P_2=P_1 \times 0,94=10000 \times 0,94=9400
1-t%=1-6%=1-0,06=0,94
On multiplie donc par 0,94 la production de janvier pour connaître celle de février.
P_2=P_1 \times 0,94=10000 \times 0,94=9400
2. Calculer la production P_3 pour mars 2017.
On multiplie donc par 0,94 la production de février pour connaître celle de mars.
P_3=P_2 \times 0,94=9400 \times 0,94=8836
P_3=P_2 \times 0,94=9400 \times 0,94=8836
3. Vérifier que les productions P_1,P_2,P_3 sont les trois premiers termes d’une suite géométrique dont on déterminera la raison q.
On multiplie par 0,94 de terme en terme P_2=P_1 \times 0,94 et P_3=P_2 \times 0,94. C’est une suite géométrique de premier terme P_1=10000 et de raison q=0,94.
4. Déterminer P_n en fonction de n
On applique la formule u_n=u_1 \times q^{n-1} avec les données de la suite géométrique P_n.
P_n=P_1 \times q^{n-1}
enfin
P_n=10000 \times (0,94)^{n-1}
P_n=P_1 \times q^{n-1}
enfin
P_n=10000 \times (0,94)^{n-1}
5. Calculer la production en décembre 2017.
Passage du mois au rang de la suite : Comme P_1 correspond au mois de janvier 2017, P_{12} correspond au mois de décembre 2017.
On applique la formule P_n=10000 \times (0,94)^{n-1} avec n=12.
P_{12}=10000 \times (0,94)^{12-1}
enfin
P_{12}=10000 \times (0,94)^{11}=4759
La production en décembre 2017 sera de 4759 ampoules.
On applique la formule P_n=10000 \times (0,94)^{n-1} avec n=12.
P_{12}=10000 \times (0,94)^{12-1}
enfin
P_{12}=10000 \times (0,94)^{11}=4759
La production en décembre 2017 sera de 4759 ampoules.
6. L’entreprise stoppera sa production quand la production sera inférieure à 1500 ampoules. Donner la date de l’arrêt de la production.
On utilisera pour cela un tableur ou une calculatrice pour trouver le rang de la suite correspondant à une valeur de 1500 et on trouve rapidement le rang 30 correspondant juin 2019.
7. Calculer la production totale d’ampoules prévue pour l’année 2017. Arrondir à l’unité.
On applique ici la formule de la somme des 12 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme P_1=10000 et de raison q=0,94.
S=P_1 \times \dfrac{1-q^{n}}{1-q}
S=10000 \times \dfrac{1-(0,94)^{n}}{1-0,94}
enfin pour les 12 premiers mois qui forme l’année
S=10000 \times \dfrac{1-(0,94)^{12}}{1-0,94}=87246,61
La production pour l’année 2017 sera de 87 246 ampoules.
S=P_1 \times \dfrac{1-q^{n}}{1-q}
S=10000 \times \dfrac{1-(0,94)^{n}}{1-0,94}
enfin pour les 12 premiers mois qui forme l’année
S=10000 \times \dfrac{1-(0,94)^{12}}{1-0,94}=87246,61
La production pour l’année 2017 sera de 87 246 ampoules.