L’entreprise C.S.I.I. produit des articles du domaine informatique pour l’Europe.
Le coût de production C(n) exprimé en milliers d’euro pour n articles est donné par la fonction C avec : C(n)=0,02n^2-2n+98 pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Le montant des ventes V(n) exprimé en milliers d’euro est pour sa part donné par la fonction V avec V(n)=1,5n pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Le coût de production C(n) exprimé en milliers d’euro pour n articles est donné par la fonction C avec : C(n)=0,02n^2-2n+98 pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Le montant des ventes V(n) exprimé en milliers d’euro est pour sa part donné par la fonction V avec V(n)=1,5n pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
1. Compléter le tableau suivant :
| n | 50 | 60 | 75 | 90 | 100 | 125 | 150 |
| C(n) | … | 50 | … | … | 98 | … | 248 |
C(50)=48
C(75)=60,5
C(90)=80
C(125)=160,5
C(75)=60,5
C(90)=80
C(125)=160,5
2. Tracer dans le même repère à l’aide de Géogébra les courbes représentant les fonctions C et V.
3. Déterminer graphiquement l’intervalle des valuers de n pour lesquelles la production est rentable.
La production est rentable quand V est au-dessus de C donc sur l’intervalle [50 ; 140]
4. Le bénéfice B(n) est donné par la fonction B pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Exprimer B(n) en fonction de n et déterminer la dérivée B'(n).
Exprimer B(n) en fonction de n et déterminer la dérivée B'(n).
B(n)=V(n)-C(n)
B(n)==1,5n-(0,02n^2-2n+98)
B(n)=-0,02n^2+3,5n-98
B'(n)=-0,04n+3,5
B(n)==1,5n-(0,02n^2-2n+98)
B(n)=-0,02n^2+3,5n-98
B'(n)=-0,04n+3,5
5. En déduire le nombre d’articles à vendre pour que le bénéfice soit maximum.
B'(n)=0
-0,04n+3,5=0
-0,04n=-3,5
n=87,5
Le nombre d’article est maximum pour n=87,5 car la fonction B est une fonction carrée et sa dérivée change de signe en n=87,5.
-0,04n+3,5=0
-0,04n=-3,5
n=87,5
Le nombre d’article est maximum pour n=87,5 car la fonction B est une fonction carrée et sa dérivée change de signe en n=87,5.