SG09 – Acheter ou louer

Faty et Jacques, deux jeunes parents, cherchent à déménager pour avoir plus d’espace et se rapprocher du centre-ville. Une agence immobilière leur propose un logement dont le loyer mensuel est de 720 € avec une augmentation prévisionnelle, liée à l’indice ICC, estimée à 3 % par an.
L’agence les informe que la propriétaire serait également disposée à leur vendre le bien pour 190 000 € (frais d’agence inclus). Envisageant de rester une vingtaine d’années dans cet appartement, le couple se demande s’il ne serait pas préférable d’acheter plutôt que de louer.

Jacques et Faty souhaitent connaître le montant total des loyers qu’ils auront à verser en 20 ans de location.


1. Proposer une méthode et un outil de résolution de cette situation problème.
– Il faut déterminer le montant total des loyers sur 20 années et comparer cette somme avec le montant de la vente soit 190 000 €.
– Pour cela il faut déterminer le montant annuel des loyers qui sera le premier terme de la suite géométrique de raison q = 1,03 (augmentation de 3%).
– Ensuite il faut calculer la somme des 20 premiers termes de cette suite.
– On vérifie à l’aide d’un tableur ou de la calculatrice.


2. Mettre en œuvre votre méthode de résolution.

2.a. Identifier le premier terme et la raison de cette suite géométrique.
Premier terme de la suite : u_1=12 \times 720=8640
Annuellement, Jacques et Faty vont payer 8640€.
Une augmentation de 3% est égale à un facteur multiplicateur 100%+3%=103%=1,03.
Raison de la suite : q=1,03


2.b. Déterminer le prix des loyers de la deuxième année u_2.
u_2=u_1 \times 1.03=8899.2
Le prix du loyer sera la deuxième année de 8899,20€.


2.c. Ecrire u_n en fonction de n.
u_n=u_1 \times q^n-1
u_n=8640 \times 1,03^n-1








2.d. Déterminer u_10 en arrondissant au centième près.
u_n=u_1 \times q^n-1
u_10=8640 \times 1,03^10-1
u_10=8640 \times 1,03^9
u_10=11273,24


2.e. Déterminer la somme des 20 premiers termes de la suite.
Nombres de termes : 20
Premier terme : u_1=8640
Raison : q=1,03
Sommes des termes :
S=u_1 \times \frac{q^n-1}{q-1}=8640 \times \frac{1,03^{20}-1}{1,03-1}
S=232160,04


2.f. Vérifier le calcul de la somme à l’aide d’un tableur.


2.g. Conclure : quelle est la meilleure option : 20 ans de loyers ou l’achat ?
Le montant total des 20 années de loyer (232 160,04 €) est supérieur au prix de vente de l’appartement (190 000 €).
Faty et Jacques ont donc plutôt intérêt à acheter l’appartement.