On dépose un morceau de viande sur un comptoir l’été à 14h, la température avoisine les 35°C. Ce morceau de viande contient 100 bactéries, et dans ces conditions, le nombre de bactéries double toutes les 15 minutes. On note u_0 le nombre de bactéries à 14h00, u_1 le nombre de bactéries à 14h15, u_2 le nombre de bactéries à 14h30 et u_n le nombre de bactéries n quarts d’heure après 14h.

1. Quelle est la relation entre u_0 et u_1 ? puis entre u_{n} et u_{n+1} ?

u_1=u_0 \times 2
u_{n+1}=u_n \times 2

2. Préciser la nature de la suite (u_{n}) définie précédemment et sa raison.

On multiplie de terme en terme par 2. (u_n) une suite géométrique de premier terme u_0=100 et de raison 2.

3. Exprimer u_{n} en fonction de n.

u_{n}=u_0 \times q^n
u_{n}=100 \times 2^n

4. Calculer le nombre de bactéries à 17h00.

17h00 correspond à u_{12} et
u_{12}=100 \times 2^{12}
u_{12}=100 \times 2^{12}=409600

5. On estime qu’à partir de 150 000 bactéries présentes dans un aliment, celui-ci atteint un niveau impropre à la consommation pour l’être humain. Jusqu’à quelle heure, arrondie au quart d’heure, l’être humain peut-il consommer sans risque le morceau de viande ?

Il faut utiliser un tableur ou une calculatrice et vérifier à quel terme on dépasse 150 000 bactéries. Cette valeur est obtenue entre u_{10}=102400 et u_{11}=204800.
On prendra donc u_{10} qui correspond à 16h30. A 16h45, la viande sera impropre à la consommation.