Archives de catégorie : Terminale

Statistique à deux variables

Stats-01 : En voiture

Kenny a acheté une voiture. Il a relevé sa consommation moyenne, soit 5 L d’essence aux 100 km. Il souhaite connaître l’émission de CO2 correspondante afin de situer sa voiture sur l’étiquette énergie/CO2 apposée sur les véhicules neufs (voir document ci-contre).
Pour cela, il prend note des consommations et des rejets de CO2 pour différentes voitures et construit le tableau suivant.
stats-02-01


1.a. Dans le repère ci-dessous, placer les points :
– d’abscisse x : consommation (en L/100 km) ;
– d’ordonnée y : rejet de CO2 (en g/km).

stats-02-02

1.b. Les points du nuage de points sont-ils alignés ?
Non
1.c. Peut-on déterminer le rejet de CO2 pour une consommation de 5 L/100 km ?
Non
2.a. Proposer une méthode pour déterminer la consommation moyenne des 6 modèles :
Additionner toutes les consommations puis diviser par le nombre de modèle.
2.b. Calculer \overline{x} la moyenne des consommations.
\overline{x}=\dfrac{3,9 + 4,5 + 5,6 + 6,3 + 6,7 + 7,3}{6}=5,7
2.c. Calculer \overline{y} la moyenne des rejets.
\overline{y}=\dfrac{90 + 106 + 129 + 142 + 157 + 169}{6}=132
2.d. Placer le point moyen G de coordonnées (\overline{x};\overline{y})
2.e. Le point G et le point A(3,9;90) définissent la droite d’ajustement du nuage de point.
Tracer cette droite (AG).
2.f. Que dire de la droite d’ajustement ?
C’est une droite ne passant pas par l’origine
C’est donc une fonction affine
2.g. Quelle est la formule associée. Cocher la bonne réponse.
\quad \Box \quad y=ax
\quad \Box \quad y=ax+b
\quad \Box \quad y=b
L’équation d’une fonction affine est bien y=ax+b
3.a. Proposer une méthode pour déterminer graphiquement le rejet de CO2 pour une consommation de 5 L/100 km ?
Rechercher l’ordonnée du point de la droite d’ajustement (AG) qui a pour abscisse x = 5.
Repérer x = 5
Remonter verticalement jusqu’à la droite d’ajustement (AG). Retrouver horizontalement l’axe des ordonnées.
Lire l’ordonnée y correspondante.
3.b. Mettre en œuvre cette méthode.
3.c. Quel est le rejet de CO2 produit par la voiture de Kenny ?
La voiture de Kenny rejette 116 g/km de CO2.
3.d. Indiquer son classement de catégorie sur l’étiquette énergie/CO2.
stats-01-03
La voiture de Kenny est de classe B.
A retenir : la droite d’ajustement modélise un nuage de points.
Probabilités

Proba13 – Baccalauréat

On considère un établissement scolaire de 2000 élèves, regroupant des collégiens et des lycéens.
– 19 % de l’effectif total est en classe de terminale;
– parmi ces élèves de terminale, 55% sont des filles;
– le taux de réussite au baccalauréat dans cet établissement scolaire est de 85%;
– parmi les candidates ayant échoué, la proportion des filles a été de \dfrac{8}{19}.

1. Compléter le tableau des effectifs regroupant les résultats au baccalauréat :

 

Elèves Garçons Filles Total
Réussite 124 23 14
Echec
Total

Après la publication des résultats, on choisit au hasard un élève parmi l’ensemble des élèves de terminale. On considère les évènements suivants :
– G : « l’élève est un garçon »
– R : « l’élève a eu son baccalauréat »

Dans la suite, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis à 10^{-2} près.

2. Définir les évènements suivants par une phrase :

a. \overline{R}
Les élèves n’ayant pas leur baccalauréat.
a. \overline{G} \cap R
Les filles ayant eu leur baccalauréat.

3. Calculer les probabilités des évènements suivants :

a. \overline{R}
p(\overline{R})=
b. \overline{G} \cup R
p(\overline{G} \cup R)=p(\overline{G})+p(R)-p(\overline{G} \cap R)

4. On choisit un élève au hasard parmi les bacheliers.

Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
p(\overline{R})=
Probabilités

Proba12 – Exercice maison – Prince charmant

Exercice 2

Un prince charmant se doit de partir à l’aventure et d’affronter des périls. Dans 42% des cas, il affronte un Dragon, dans 30% ce sont des Trolls et dans les autres cas, c’est le Chevalier Noir.
Dans tous les cas, il réussit sa quête avec une probabilité de 0,8.
Tuer un Dragon lui rapporte 1000 pièces d’or, un Troll 500 et le Chevalier Noir 300.

1.a. Construire l’arbre correspondant. On appellera D l’évènement Dragon, T l’évènement Troll et C l’évènement Chevalier Noir et enfin Q est l’évènement quête réussie.

1.b. Décrire \overline{Q} à l’aide d’une phrase.

2. Un prince part à l’aventure. Quelle est la probabilité :
a. qu’il gagne 1000 pièces d’or ?
b. qu’il gagne des pièces d’or ?
c. qu’il revienne bredouille ?

3. Recopier et compléter le tableau suivant :

Gains en pièces d’or 1000 500 300 0
Probabilité
Probabilités

Proba11 – Exercice maison – Arbre et probabilités

Exercice 1

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Il s’agit d’une expérience aléatoire à deux épreuves.
Soit E l’évènement : « On obtient au moins une fois la face PILE. »
Calculer P(E) en réalisant l’arbre correspondant.

Exercice 2

Lisa a dans un tiroir trois paires de chaussettes de type identique mais de couleurs différentes : noire, rouge et beige. Dans l’obscurité, elle prend au hasard deux chaussettes parmi les six.

1. A l’aide d’un arbre des possibles, déterminer toutes les issues possibles des 2 tirages sans remise successifs.
 
 
 
 
 
 
2. Calculer la probabilité de l’évènement A « Lisa a pris la paire de chaussettes noires ».
 
 
3. Calculer la probabilité de l’évènement B « Lisa a pris deux chaussettes de même couleur ».
 
 
4. Calculer la probabilité de l’évènement C « Lisa a pris deux chaussettes de couleur différente ».
 
 
Probabilités

Proba8 : Calculs de probabilités avec union et intersection

Dans une classe de terminale professionnelle de 30 élèves, on dénombre 9 élèves titulaires d’un CAP et 21 élèves majeurs.

Attention, certains élèves ne sont ni majeurs ni titulaires d’un CAP.


1. Donner la représentation décrivant la situation présentée.
proba801
Le diagramme 1 est le seul permettant de résumer la situation car :
– le diagramme 2 ne compte que 24 élèves en tout.
– le diagramme 3 ne compte que 21 élèves en tout.
– dans le diagramme 4, tous les élèves sont majeurs et ont un CAP.
2.a. Calculer la probabilité p(A) de tirer au sort un élève majeur.
p(A)=\dfrac{21}{30}=0,7
2.b. Calculer la probabilité p(B) de tirer au sort un élève titulaire d’un CAP.
p(B)=\dfrac{9}{30}=0,3
3.a. La probabilité de tirer au sort un élève majeur titulaire d’un CAP se note :
\Box \quad p(A \cup B) \quad \Box \quad p(A - B) \quad \Box \quad p(A \cap B)
p(A \cap B)
3.b. Calculer cette probabilité en vous aidant du diagramme de la question 1.
p(A \cap B)=\dfrac{10}{30}=0,33
4.a. La probabilité de tirer au sort un élève majeur ou titulaire d’un CAP se note :
\Box \quad p(A \cup B) \quad \Box \quad p(A + B) \quad \Box \quad p(A \cap B)
p(A \cup B)
4.b. Calculer cette probabilité.
On utilise la formule faisant intervenir la probabilité de l’union et de l’intersection.
p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A \cap B)
p(A \cup B)=0,7+0.3-0.33=0.67
Probabilités

Proba7 : Exercice d’arbre

Une urne contient trois boules de couleurs différentes (jaune, verte, bleue). On tire au hasard une première boule, on la remet dans l’urne après avoir noté sa couleur. On tire une seconde boule, on note sa couleur.
1.Construire l’arbre correspondant à cette expérience aléatoire
2.A l’aide d’un arbre déterminer toutes les issues de cette expérience aléatoire.
Il y a 9 issues pour cette expérience.
Ω={JJ,JV,JB,VJ,VV,VB,BJ,BV,BB}.
3.Déterminer les issues de l’événement « les deux boules sont de la même couleur ».
Les issues sont : JJ,VV,BB
4.Quelle est la probabilité de tirer deux boules de même couleur ?
P=3/9=1/3
5.Quelle la probabilité de tirer deux boules bleues ?
P=1/9
6.Quelle est la probabilité de tirer deux boules dont la première est verte ?
P=3/9=1/3
Fonction dérivée et étude des variations d’une fonction

D02 – Cours

Notion de fonction dérivée

On définit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
On appelle fonction dérivée de f (notée {f'}) la fonction qui associe, à toute valeur x de I, le nombre dérivé de f en x.

De la même façon que l’on définit une fonction continue sur un intervalle I, on définit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour certaines fonctions, la fonction dérivée n’existe pas en certains points. L’intervalle I permet de les enlever.

Pour mémoire, un intervalle s’écrit sous la forme \left [ 2,4 \right ] ou \left ] 2,+\infty \right[ .

Fonctions dérivées des fonctions de référence

Si f(x)= alors {f'}(x)=
ax+b a
x^2 2x
x^3 3x^2
\frac{1}{x} \frac{-1}{x^2}
\sqrt{x} \frac{1}{2 \sqrt{x}}
x^{a} ax^{a-1}
Fonction dérivée et étude des variations d’une fonction

D01 – Approche par la tangente

Ouvrir Géogébra
Dans la zone de saisie, entrer f(x)=x^2
1.Quelle est la fonction saisie ?
C’est la fonction carrée.
2.Quelles sont ses caractéristiques graphiques ?
La fonction est symétrique par rapport à x=0. Elle est donc décroissante jusqu’à 0 puis croissante après 0.
Dans la zone de saisie, entrer les points (1,1) (2,4) (3,9) (-1,1) (-2,4) (-3,9)
3.Les points appartiennent-ils à la courbe ?
f(1)=1 f(2)=4 f(3)=9 et par symétrie f(-1)=1 f(-2)=4 f(-3)=9
En appuyant sur le 4ème bouton, choisir « Tangentes » pour connaître l’équation de la tangente d’une courbe en un point. Déterminer les équations des tangentes des différents points A,B,C puis D,E,F.
Procédure : Pour chaque point, il faut cliquer sur ce point et la courbe. Des équations de type affine y=ax+b vont apparaître dans la zone de saisie…Pour mémoire : a est le coefficient directeur d’une équation affine.
4.Compléter le tableau suivant :
Points A B C D E F
Coefficient directeur 2 4 6 -2 -4 -6
On note {f'(x)} le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative C au point d’abscisse x.
5.Compléter le tableau suivant :
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f‘(x) -6 -4 -2 0 2 4 6
6. A l’aide des résultats du tableau remplissez en conjecturant le tableau suivant :
x -3,5 -2,5 -2 0 2 4 8 25
f‘(x) -7 -5 -4 0 4 8 16 50
7. Plus généralement, pour tout nombre x, conjecturer la formule donnant {f'(x)} en fonction de x :

\Box \quad {f'(x)}=2+x \quad \Box \quad {f'(x)}=2x \quad \Box \quad {f'(x)}=x^2
La formule qui paraît logique au vue des résultats obtenus est : {f'(x)}=2x
La fonction x \mapsto 2x est la dérivée de la fonction f(x), notée {f'(x)}.


C’est à vous

Avec la même procédure, trouver la dérivée de la fonction f(x)=x^3.


\Box \quad {f'(x)}=2x \quad \Box \quad {f'(x)}=2x^2 \quad \Box \quad {f'(x)}=3x^2


Indice : Choisir les points d’abscisses -3,-2,-1,0,1,2,3 et trouver les ordonnées correspondantes f(-3),f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),f(3)
Exemple : f(-3)=(-3)^3=(-3) \times (-3) \times (-3)=-27

La fonction f(x)=x^3 a pour dérivée la fonction {f'(x)}=3x^2.
Suites géométriques

SG13 : Problème avec des suites

Augmentation
Un patron propose à ses employés deux modes d’augmentation de leur salaire mensuel.
Option A : une augmentation fixe du salaire mensuel de 50 € au premier janvier de chaque année.

Marie est embauchée dans l’entreprise avec un salaire de 1 500 € par mois. Elle choisit d’être augmentée suivant l’option A. On note M_n son salaire après n années passées dans l’entreprise. On a M_0 = 1500 .
a) Calculer M_1 et M_2 .
b) Exprimer M_{n+1} en fonction de M_n . En déduire la nature de la suite ( M_n ).
c) Exprimer M_n en fonction de n.
d) Calculer M_{20} .
e) A partir de combien d’années son salaire mensuel sera-t-il d’au moins 1 800 € ?

Option B : une augmentation de 3 % du salaire mensuel de l’année précé- dente au premier janvier de chaque année.

Jean est embauché la même année que Marie avec un salaire de 1 500 € par mois. Il choisit d’être augmenté suivant l’option B. On note J_n son salaire après n années passées dans l’entreprise. On a J_0 = 1500 .
a) Calculer J_1 et J_2 .
b) Exprimer J_{n+1} en fonction de J_n . En déduire la nature de la suite ( J_n ).
c) Exprimer J_n en fonction de n.
d) Calculer J_{20} . (Arrondir au centime près).
e) A l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien d’années son salaire mensuel sera d’au moins 1 800 € ?


A partir de combien d’années passées dans l’entreprise, le salaire mensuel de Jean sera-t-il supérieur à celui de Marie ?

Probabilités

Proba1 – Vocabulaire des probabilités

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont on peut déterminer toutes les issues possibles mais sans savoir laquelle va se réaliser.

 

Exemple :

Dans un jeu de 32 cartes, l’expérience « tirer une carte au hasard sans tenir compte de sa couleur » est une expérience aléatoire car :
– on peut déterminer toutes les issues possibles : ici on peut obtenir un 7, un 8 , un 9, un 10, un valet, une dame, un roi ou un as.
– on ne sait pas laquelle de ces issues va se réaliser.

 

Définition

L’univers Ω (lire oméga) d’une expérience aléatoire est l’ensemble de tous les résultats possibles. Un événement est le résultat d’une expérience aléatoire : c’est une partie de l’univers.

Exemples :

Dans un jeu de 32 cartes, l’expérience « tirer une carte au hasard sans tenir compte de sa couleur », a pour univers l’ensemble des issues suivantes : Ω = {7; 8; 9; 10; valet; dame; roi; as}.

L’évènement A « on gagne si on tire une figure », est une partie de l’univers. Les issues possibles sont : A = {valet; dame; roi}.

Propriétés

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Probabilités

Proba2. Calculer une probabilité

Enoncé

Ali et Laura jouent avec un jeu de 32 cartes avec la règle suivante : chaque joueur tire une carte ; il gagne si c’est une figure. Ali joue en premier. Il se demande combien il a de chances de gagner.

 

1. Quel est l’univers Ω (les issues possibles) de ce tirage ?
Ω ={7; 8; 9; 10; valet; dame; roi; as}
2. Quelles sont les issues possible de l’évènement A « je tire une figure » ?
A ={valet; dame; roi; as}

 

Définition

Pour calculer la probabilité d’un évènement, on divise le nombre d’issues favorables par le nombre d’issues possibles. p(A)=\dfrac{\text{nb d'issues favorables}}{\text{nb total d'issues possibles}}
3. Quelle est la probabilité p(A) de l’évènement A?
On a 3 issues favorables pour 8 issues possibles au total
p(A)=\dfrac{3}{8}= 0,375

Définition

L’évènement contraire de A est noté \overline{A}. Il comporte les issues qui n’entrent pas dans A.

Exemple :

\overline{A} = {7; 8; 9; 10; as}


4. Quelle est la probabilité p(\overline{A}) de l’évènement \overline{A}?
On a 5 issues favorables pour 8 issues possibles au total
p(\overline{A})=\dfrac{5}{8}= 0,625
5. Quelle relation permet de déterminer la probabilité p(\overline{A}) de l’évènement \overline{A} à l’aide de la probabilité de l’évènement A ?
p(\overline{A})= 1 – p(A) = 1 – 0,375 = 0,625
Probabilités

Proba3. Probabilité d’un évènement et fréquences des échantillons

Définition

Le résultat d’une expérience aléatoire est dû au hasard, la fréquence de chaque échantillon est donc aléatoire. Mais plus le nombre d’échantillons est grand, plus la moyenne des fréquences des échantillons est proche de la probabilité de l’événement.

Exemple :

D’après Météo France, il pleut 128 jours par an sur la ville. Pour vérifier si l’apparition de la pluie est due au hasard on va simuler la prévision de la pluie sur différentes périodes.

 

A. SIMULATION
 

1. Quelle est la probabilité p(A) de l’évènement A « Avoir un jour de pluie »?
Il y a 128 jours favorables sur 365 jours possibles
p(A)=\dfrac{128}{365}= 0,35

 

2. Simulation sur une année.
Ouvrir une feuille de calcul d’excel.
Dans la colonne A, saisir les jours de 1 à 365.
Dans la colonne B, afficher 1 pour un jour de pluie et 0 pour un jour sans pluie. Quelle est la formule permettant de faire la simulation d’un jour de pluie ?
=ENT(ALEA()+0.35)

 

Saisir cette formule dans la cellule B1, puis copier-la jusqu’à la cellule B365.
 
Dans la colonne C, afficher le cumul des nombres de jours de pluie :
C1:=B1 ; C2:=C1+B2 ; puis copier C2 jusqu’en C365.
 
Dans la colonne D, afficher la fréquence des jours de pluie :
D1:=C1/A1, puis recopier jusqu’en D365
 
Sélectionner la colonne D puis insérer un graphique de forme « nuage de points ». Appuyer F9 pour réaliser plusieurs simulations.
Le nuages de points obtenu ressemble à celui-ci.
fréquences

 
B. INTERPRETATIONS
 

1. Noter dans le tableau suivant la moyenne des fréquence des jours de pluie obtenus par simulation.
Durées Semaine (7 jours) Quinzaine (15 jours) Mois (30 jours) Trimestre (90 jours) Semestre (180 jours) Année (365 jours)
Fréquence (selon simulation) …….. …….. …….. …….. …….. ……..

Les résultats dépendent de vos simulations, voici un exemple :

Fréquence 0,43 0,36 0,40 0,39 0,37 0,35

 

2. Expliquer comment évolue la moyenne des fréquences lorsque le nombre de jours de l’échantillon augmente.
La fréquence est très variable quand le nombre de jours est petit, mais plus le nombre de jours augmente plus la moyenne des fréquences se stabilise et se rapproche de p=0,35.
Probabilités

Proba4. Probabilités lors de choix successifs

Définition

Lors d’un choix successif dans un ensemble de n éléments, il y a :
– n possibilités pour le 1er choix,
– (n – 1) possibilités pour le 2nd choix,
– (n – 2) possibilités pour le 3e, etc.

 
Exemple :

Prenons un jeu de 32 cartes, tirons successivement 2 cartes sans remise.
Soit A l’évènement « obtenir deux couleurs différentes ».

 

1. Calculer la probabilité de A lors du premier tirage


Nb d’issues favorables : 4
Nb d’issues possibles : 32
p(A)=\dfrac{4}{32}= 0,125

 

2. Calculer la probabilité de A lors du deuxième tirage


Nb d’issues favorables : 3
Nb d’issues possibles : 31
p(A)=\dfrac{3}{31}= 0,097

 

Probabilités

Proba5. Simuler un tirage avec un arbre des évènements

Définition

Un arbre des évènements est un schéma permettant de déterminer toutes les issues possibles lors d’une succession d’expériences aléatoires.
A chaque étape il faut notifier une issue possible par une ramification.
La somme des probabilités de chaque étape est égale à 1.

 
Exemple

Une urne contient 2 boules rouges et 1 boule Verte.
On réalise deux tirages successifs avec remise.
Voici l’arbre des évènements représentant cette expérience.
image3

 
 
 
Application

Une urne contient 2 boules rouges, 3 boules Bleues et 4 boules Vertes.
On réalise trois tirages successifs sans remise.

 

1. Combien de possibilités avons-nous au premier tirage ?


Au premier tirage on a 3 possibilités correspondant à chacune des couleurs Rouge, Bleu et Vert.

 
 

2. Combien de possibilités avons-nous au deuxième tirage ?


Au deuxième tirage il existe encore des boules de chacune des trois couleurs, on a 3 possibilités correspondant à chacune des couleurs Rouge, Bleu et Vert.

 

3. Combien de possibilités avons-nous au troisième tirage ?


Si une boule rouge a été tirée à chaque fois des deux premiers tirages, il n’y a plus de boules rouges dans l’urne. Donc ce cas il ne reste plus que deux possibilités : bleu et Vert.
Sinon il reste toujours 3 possibilités car il existe encore des boules des trois couleurs.

 

4. Réaliser un arbre des évènements correspondant à cette expérience.
Arbre corrigé

 

5. Combien existe-t-il d’issues possibles au total ?


On a 26 issues possibles.

 
Soit l’évènement A « Obtenir trois boules de couleurs différentes ».

6. Combien existe-t-il d’issues favorables à l’évènement A ?


On a 6 issues favorables.

 

7. Quelle est la probabilité de l’évènement A ?
p(A)=\dfrac{6}{26}= 0,231

 
Soit l’évènement B « Obtenir au moins deux boules de couleurs identiques ».

8. Combien existe-t-il d’issues favorables à l’évènement B ?


On a 20 issues favorables.

 

9. Quelle est la probabilité de l’évènement B ?
p(A)=\dfrac{20}{26}= 0,769

 

Probabilités

Proba6. Opérations sur les probabilités

Définition

A et B sont deux événements d’une expérience aléatoire.
=> L’intersection des événements, notée A ∩ B, est l’ensemble des résultats qui réalisent à la fois les deux événements A et B.
=> La réunion des événements, notée A ∪ B, est l’ensemble des résultats qui réalisent l’un ou l’autre des événements A et B.
=> La probabilité de la réunion des événements A et B se calcule par la relation :
p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B).
Image4

Exemple :

La classe de terminale GA participe à la journée sportive de solidarité Bouge Ton Coeur. On interroge les élèves sur leur participation :
Sur 20 filles 12 participent dans une équipe, sur 10 garçons il n’y a que 40% qui participent ans un équipe.

 

1. Compléter le tableau suivant :

Elèves Joueurs Spectateurs TOTAL
Garçons …….. …….. ……..
Filles …….. …….. ……..
TOTAL …….. …….. ……..
Elèves Joueurs Spectateurs TOTAL
Garçons 4 6 10
Filles 12 8 20
TOTAL 16 14 30

 

2. Calculer la probabilité de l’évènement A « l’élève interrogé est une fille ».
p(A)=\dfrac{20}{30}= 0,67

 

3. Calculer la probabilité de l’évènement B « l’élève interrogé est un joueur ».
p(B)=\dfrac{16}{30}= 0,53

 

4. Cocher la bonne notation de l’évènement C « l’élève interrogé est une fille joueuse dans une équipe ».
\quad \Box A U B \quad \Box A ∩ B \quad \Box A x B
\quad \Box A U B \quad \boxtimes A ∩ B \quad \Box A x B

 

5. Calculer la probabilité de l’évènement C « l’élève interrogé est une fille joueuse dans une équipe ».
p(B)=\dfrac{12}{30}= 0,4

 

6. Cocher la bonne notation de l’évènement D « l’élève interrogé est une fille ou un(e) joueur(se) dans une équipe ».
\quad \Box A U B \quad \Box A x B \quad \Box A ∩ B
\boxtimes A U B \quad \Box A ∩ B \quad \Box A x B

 

7. Calculer la probabilité de l’évènement D « l’élève interrogé est une fille ou un(e) joueur(se) dans une équipe ».
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
p(D) = p(A) + p(B) – p(C) = 0,67 + 0,53 – 0,40 = 0,80


Autre Méthode :
Le nombre d’élèves concernés par l’évènement D est : 20 filles + 4 garçons joueurs = 24 élèves
p(D)=\dfrac{24}{30}= 0,80

 

Probabilités

Proba10. CCF exemple 1 : « Menu formule »

Enoncé

Un restaurateur vous propose un nouveau « menu formule » avec une entrée, un plat du jour et un désert. Le client a le choix entre :
– 3 entrées : œuf mimosa à 2 € – salade niçoise à 4 € – charcuterie à 7 €
– 2 plats du jour : steak frites à 10 € – saumon riz à 12 €
– 2 desserts : tarte aux pommes à 6 € – gâteau aux amandes à 8 €
Image1

 

1. Choisissez votre menu et calculer son prix.

 

Chacun aura sa propre réponse. Voici un exemple de menu choisi :
œuf mimosa + steak frites + tarte aux pommes
Tarif du menu choisi : 2 + 10 + 6 = 18 €

 

2. A l’aide d’un tableur, déterminer le prix de tous les menus différents qui peuvent être composés avec les trois entrées, les deux plats et les deux desserts.

 

3. Compter le nombre de repas à 22 € à l’aide de la formule suivante : « =NB.SI(plage cellules tarif;22) »

 

CCF 1. tableur1

 

4. Le restaurateur envisage de proposer plus de possibilités à 22 €. Pour cela, il se propose de diminuer ou d’augmenter de 1 € un seul tarif parmi les trois entrées. Rechercher, à l’aide d’un tableur, le tarif de l’entrée qu’il faut modifier pour obtenir le maximum de menus à 22 €.

 

CCF 1. tableur2 diminution tarif
CCF 1. tableur2 augmentation tarif
Il faut faire baisser le tarif des charcuteries à 6 € pour obtenir 4 menus à 22 €.

 
Enoncé

Une étude statistique a été réalisée sur le prix payé par les clients avec l’ancien « menu formule » durant les deux dernies mois. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

Prix en € [17 ; 19[ [19 ; 21[ [21 ; 23[ [23 ; 25[ [25 ; 27[
Effectif 97 313 391 292 107

 

5. Déterminer les fréquences de chaque tarif, en pourcentage.

 

Rappel de la formule pour calculer une fréquence :
f=\dfrac{\text{nb cas favorables}}{\text{nb total de possibilités}} x 100

 

Prix en € [17 ; 19[ [19 ; 21[ [21 ; 23[ [23 ; 25[ [25 ; 27[
Effectif 97 313 391 292 107
Fréquence en % 8,08 26,08 32,58 24,33 8,92

 

6. En prenant au hasard la note d’un client dans cette étude statistique, calculer la probabilité des événements suivants :
Événement A : « le montant de la note est égal ou supérieur à 21 € »
Événement B : « le montant de la note est inférieur à 23 € »

 

Rappel de la formule pour calculer une probabilité :
p(A)=\dfrac{\text{nb d'issues favorables}}{\text{nb total d'issues possibles}}

 

On a 391 + 292 + 107 = 790 issues favorables pour 1200 issues possibles au total
p(A)=\dfrac{790}{1200}= 0,66

 

On a 97 + 313 + 391 = 801 issues favorables pour 1200 issues possibles au total
p(B)=\dfrac{801}{1200}= 0,67

 

7. Traduire par une phrase l’événement (A U B)
(A U B) : « le montant de la note est supérieur ou égal à 17 € et inférieur à 27 € »
ou bien
(A U B) : « le montant de la note est compris entre 17 € et 27 €, non inclus pour ce dernier tarif »

 

8. Calculer la probabilité de l’événement (A U B).

 

Cet événement correspond à toutes les issues possibles pour les tarifs des menus, sa probabilité est donc de 1.
p( A U B) = 1

 

9. Calculer la probabilité de l’événement (A ∩ B).

 

Rappel de la formule :
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

 

p(A ∩ B) = p(A) + p(B) – p(A U B) = 0,66 + 0,67 – 1 = 0,33

 

10. Traduire par une phrase l’événement (A ∩ B)

 

(A ∩ B) : « le montant de la note est supérieur ou égal à 21 € et inférieur à 23 € »
ou bien
(A ∩ B) : « le montant de la note est compris entre 21 € et 23 €, non inclus pour ce dernier tarif »

 

11. Le restaurateur décide finalement de proposer des charcuteries à 6 €. Les tarifs proposés alors sur la nouvelle carte seront-ils adaptés à la clientèle de ce restaurant, si les résultats de l’étude statistique sont représentatifs de cette clientèle. Justifier votre réponse.

 

On réalise un tableau des tarifs des menus et de leur effectif respectif avec les charcuteries à 6 € (trouvés à l’aide du tableur 2). Puis on calcule les fréquences des tarifs. Si les fréquences sont proches de celles de la question 5 alors les tarifs seront adaptés à la clientèle.

 

Prix en € [17 ; 19[ [19 ; 21[ [21 ; 23[ [23 ; 25[ [25 ; 27[
Effectif 1 3 4 3 1
Fréquence en % 8,08 25,00 33,33 25,00 8,08

 

Les fréquences des deux propositions, ancien et nouveau tarif des charcuteries, sont proches. Ces nouveaux tarifs sont donc adaptés à la clientèle du restaurant.
Suites géométriques

SG2 – Correction de l’interrogation – Devoir B

Vocabulaire des suites géométriques

1. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour passer d’un terme à un autre pour une suite géométrique ?

\boxtimes multiplication \quad \Box addition \quad \Box division \quad \Box soustraction
La multiplication pour une suite géométrique

2. Quelle est la formule avec le terme de rang n et le terme suivant pour une suite géométrique ?

\boxtimes u_{n+1}=u_{n} \times q \quad \Box u_{n}=u_{n+1} \times r
\Box u_{n}=u_{n+1}+r \quad \Box u_{n}=u_{n+1} \times r
Pas de r pour une suite géométrique

3. Quelles sont les 2 formules faisant apparaître u_n , u_0 ou u_1 et q pour une suite géométrique ?

\Boxu_{n}=u_{0} \times q^{n-1}\quad \boxtimes u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}
\Boxu_{n}=u_{1} \times q^n \quad \boxtimes u_{n}=u_{0} \times q^n
N’oubliez pas que u_{1}=u_{0} \times q

4. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une diminution de 12% ?

\Box 1,12 \quad \boxtimes 0,88 \quad \Box 0,12 \quad \Box -0,12
Réduction ou diminution 1-t%=1-0,12=0,88

5. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une augmentation de 31% ?

\Box 0,69 \quad \boxtimes 1,31 \quad \Box 0,31 \quad \Box -0,31 \quad

Augmentation ou croissance 1+t%=1+0,31=1,31


Calcul des termes d’une suite géométrique connaissant u_{0} ou u_{1} et q
(u_{n}) est une suite géométrique de raison q

1. On donne u_{0}=2 et q=3, calculer u_{3}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=2 \times 3^n
u_{3}=2 \times 3^3=54

2. On donne u_{0}=5 et q=-2, calculer u_{5}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=5 \times (-2)^n
u_{5}=5 \times (-2)^5=-160

3. On donne u_{0}=-3 et q=4, calculer u_{4}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=(-3) \times 4^n
u_{4}=(-3) \times 4^4=324

4. On donne u_{1}=4 et q=-3, calculer u_{3}.

u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}=4 \times (-3)^{n-1}
u_{3}=4 \times (-3)^{3-1}=36

5. On donne u_{1}=5 et q=2/3, calculer u_{4}.

u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}=5 \times (2/3)^n
u_{4}=5 \times (2/3)^{4-1}=1,48
Suites géométriques

SG20 – Devoir A

Vocabulaire des suites géométriques

1. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour passer d’un terme à un autre pour une suite géométrique ?

\Box addition \quad \Box division \quad \Box soustraction \quad \boxtimes multiplication
La multiplication pour une suite géométrique

2. Quelle est la formule avec le terme de rang n et le terme suivant pour une suite géométrique ?

\Box u_{n+1}=u_n \times r \quad \Box u_{n}=u_{n+1} \times r
\Box u_{n}=u_{n+1}+r \quad \boxtimes u_{n+1}=u_{n} \times q
Pas de r pour une suite géométrique

3. Quelles sont les 2 formules faisant apparaître u_n , u_0 ou u_1 et q pour une suite géométrique ?

\Box u_{n}=u_{1} \times q^n \quad \boxtimes u_{n}=u_{0} \times q^n
\Boxu_{n}=u_{0} \times q^{n-1} \quad \boxtimes u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}
N’oubliez pas que u_{1}=u_{0} \times q

4. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une diminution de 11% ?

\Box 0,11 \quad \Box 1,11 \quad \boxtimes 0,89 \quad \Box -0,11 \quad
Réduction ou diminution 1-t%=1-0,11=0,89

5. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une augmentation de 13% ?

\Box 0,13 \quad \boxtimes 1,13 \quad \Box 0,87 \quad \Box -0,13 \quad

Augmentation ou croissance 1+t%=1+0,13=1,13


Calcul des termes d’une suite géométrique connaissant u_{0} ou u_{1} et q
(u_{n}) est une suite géométrique de raison q

1. On donne u_{0}=3 et q=2, calculer u_{3}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=3 \times 2^n
u_{3}=3 \times 2^3=24

2. On donne u_{0}=-2 et q=5, calculer u_{5}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=(-2) \times 5^n
u_{5}=(-2) \times 5^5=-6250

3. On donne u_{0}=4 et q=-3, calculer u_{4}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=4 \times (-3)^n
u_{4}=4 \times (-3)^4=324

4. On donne u_{1}=4 et q=-3, calculer u_{3}.

u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}=4 \times (-3)^{n-1}
u_{3}=4 \times (-3)^{3-1}=36

5. On donne u_{1}=5 et q=2/3, calculer u_{4}.

u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}=5 \times (2/3)^n
u_{4}=5 \times (2/3)^{4-1}=1,48
Suites géométriques

SG05 – Somme des termes : Application de la formule

Définition :

La somme des n premiers termes d’une suite géométrique peut être déterminé avec la formule suivante :


S=u_0 \times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}


ou


S=u_1 \times \dfrac{q^{n}-1}{q-1}


Attention une formule avec u_0 et une autre avec u_1 !!!

Pour appliquer la formule de calcul de somme de n termes d’une suite géométrique, il faut :

  • Déterminer le nombre de termes n de la suite.
  • Connaître le premier terme et la raison.
  • Appliquer la formule avec u_0 ou u_1

Exemple avec u_0 :

Calculer la somme de 5 premiers termes de la suite géométrique avec u_0=2 et q=3

Ici, n=5 et on applique la formule avec u_0.


Ainsi         S=u_0 \times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}


Ou             S=2 \times \dfrac{3^{5+1}-1}{3-1}


Enfin       S=2 \times \dfrac{729-1}{3-1}=2 \times \dfrac{728}{2}=728


On vérifie : S=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5
S=(2)+(6)+(18)+(54)+(162)+(486)=728

Exemple avec u_1 :

Calculer la somme de 3 premiers termes de la suite géométrique avec u_1=-2 et q=2

Ici, n=3 et on applique la formule avec u_1.


Ainsi         S=u_1 \times \dfrac{q^{n}-1}{q-1}


Ou             S=(-2) \times \dfrac{2^{3}-1}{2-1}


Enfin       S=(-2) \times \dfrac{8-1}{2-1}=(-2) \times \dfrac{7}{1}=-14


On vérifie : S=u_1+u_2+u_3=(-2)+(-4)+(-8)=-14

Exercices :

Calculer la somme de 10 premiers termes de la suite géométrique avec u_0=100 et q=2


Calculer la somme de 10 premiers termes de la suite géométrique avec u_1=20000 et q=1,05